Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

[edgo]

Hi iedereen!
Ik ben erg op zoek naar informatie over derdegraads vergelijkingen waarvan de wortels
construeerbare waarden hebben (zgn. PenLpunten). Vreemd genoeg zijn er erg weinig
bruikbare lemmas om de juiste bronnen te openen. Cardano (en voor zo ver ik weet ook
Galois) is hier niet bruikbaar omdat daarbij derdegraads wortelvormen optreden; de vraag
is juist hoe die te vermijden.
Als u ergens een vrij toegankelijke bron over dit probleem weet, alstublieft, geeft u mij een
seintje. Bij voorbaat veel dank, want ik blijf een beetje hangen bij mijn zoeken naar een op-
lossing voor dat type vergelijkingen.

[mathfreak]

Probeer uitgaande van Cardano eens een voorwaarde te formuleren wanneer de wortels wel construeerbaar zijn.

[tempelier]

Ik heb ook wat gezocht maar ook niets bruikbaars gevonden.
 
 
Ik heb er daarom de oude boeken van Wijdenes en Schuh er maar eens op nageslagen,
maar ook daar vond ik niets echt bruikbaars.
 
Ik zelf heb het geprobeerd vis de goniometrische oplossing maar ook dat liep dood.
 
Het is maar de vraag dus of er iets algemeens bestaat.
Wel kan het voor ieder polynoom apart bepaald worden maar dat is natuurlijk niet de bedoeling.

[edgo]

Correct, dat heb ik gedaan, al moest ik om die conditonering te bewijzen enorm veel werk
verzetten. Die conditionering is naar mijn idee echter geen oplossing maar eerder een
bevestiging dat er in die richting mogelijkheden liggen voor een oplossing. De meest voor
de hand liggende weg is om bij de oplossing van een probleem uiterst behoedzaam om te gaan
met de beschikbare gegevens om te voorkomen dat je eindigt bij een vergelijking met cijfer-
coefficienten want dat is in dit opzicht en mathematisch gezien een woestijn. De analy-
tische onoplosbaarheid van de kubieke vergelijking met Cardano is terug te leiden tot een
informatieprobleem.

[edgo]

Tempelier. Leuk, die serie boeken uit de 20-er jaren vorige eeuw heb ik ook en raadpleeg ik eigenlijk ook nog wel eens. Ook heb ik (dat wel via internet)een dissertatie van Jan Albert Prins gevonden: Meetkundige constructies en algebraische vergelijkingen uit 1927. Volgens Bolcom was er 1 exemplaar op 20 km afstand en het volgende op een afstand van 5000 km in de VS. Ik heb een kopie mogen maken; het is veel geschiedenis en ook veel foefjes bijna, het eindigt echter bij Galois.
In de loop der jaren is er ook enige verandering gekomen in de terminologie: vergelijkingen gelegen in K2 met wortels in K2 is nu geen lemma meer.
Het is opmerkelijk dat er zo weinig aandacht voor het onderwerp is, alsof er na Cardano geen enkele poging meer is gedaan om het resultaat van die algoritme wat gebruiksvriendelijker te maken. Op een desbetreffende vraag mijnerzijds kreeg ik een aantal jaren geleden op een Amerikaans mathforum als respons:"Cardano gives the cube root out of **** plus the cube root out of other ****, which happens te be 6". Niet direct een aanbeveling om door te gaan met zoeken.

[edgo]

Mathfreak.
Ik kom niet verder dan de volgende conditionering: wanneer de coefficienten van een kubieke vergelijking in K2 liggende functies van een parameter L zijn EN volgt uit het tot K2 behoren van L dat de wortels tot K2 behoren dan geeft Cardano die wortels als in K2 liggende functies van L. Dit is de verkorte weergave want er kunnen meerdere parameters in het spel zijn en dan moet de genoemde implicatie voor elk van die parameters afzonderlijk ook gelden. Intuitief is deze conditionering van de algoritme van Cardano nogal "logisch" maar dat het een wetmatigheid is moet wel terdege bewezen worden want er zijn nogal wat omstandigheden mogelijk waarbij die intuitie er flink naast zit.
Uitgaande van een vergelijking met cijfercoefficienten ontbreekt elke informatie om af te kunnen leiden dat de wortels in K2 moeten liggen en Cardano valt dan terug op zijn default: snijpunten van kegelsneden, want dat werkt altijd maar gaat zeer ten koste van de bruikbaarheid. Wel is het mogelijk om een gegeven kubieke vergelijking in een systeem te importeren maar dat systeem kan geen informatie aan een vergelijking toevoegen die niet al in die vergelijking aanwezig is. Alles wat een rol speelt bij het tot K2 behoren van de wortels is uitgezocht en het zoeken mijnerzijds is naar een "slimme oversteek" naar een ander kennisgebied. Vandaar mijn zoektocht naar informatiebronnen.

[mathfreak]

Wat bedoel je precies met K2? Als je veronderstelt dat in de formule van Cardano onder iedere derdemachtswortel een derde macht staat, lukt het je dan wel om een voorwaarde te formuleren wanneer de wortels wel construeerbaar zijn?

[edgo]

K2 dateert uit het begin van de vorige eeuw of daaromtrent. Gebruikt bij problemen waarbij het complexe getallen betreft als het om coefficienten van vergelijkingen gaat en om construeerbare getallen als het de wortels van zulke vergelijkingen betreft. Die dualiteit weet ik niet in een hedendaagse term te vatten.
Wat uw vraag betreft, ik kan uw veronderstelling niet hanteren in mijn benadering van het probleem met de algoritme van Cardano. Ik kom, denk ik, van een andere kant: als er sprake is van een zuivere derdemacht onder een derdemachts wortelteken dan hebben we te maken met een construeerbare waarde. Uw veronderstelling in mijn benadering houdt in dat de vergelijking opgelost is en dat de wortels construeerbaar zijn.
Er is dan geen sprake meer van een noodzaak om een voorwaarde te formuleren.

[mathfreak]

K2 dateert uit het begin van de vorige eeuw of daaromtrent.

Heb je misschien een voorbeeld van een tekst waar dit in voorkomt?

[edgo]

Bijgaand een kopie van een blad uit de inleiding van het al eerder genoemde boek van J.A. Prins.
Maar ik heb het zelf ergens anders vandaan want ik gebruikte die notatie al voor ik die dissertatie van Prins kende. Geen idee meer. Ik heb geen probleem met de notatie op zich, wel is het zo dat het geen lemma oplevert om onder te zoeken op internet. Dat is trouwens altijd een probleem als je zelf iets nieuws definieert en een benaming invoert: nul respons waar dan ook is je loon.

Goed, ik zie nergens een bijlage. Soit.

[tempelier]

Wat bedoel je precies met K2? Als je veronderstelt dat in de formule van Cardano onder iedere derdemachtswortel een derde macht staat, lukt het je dan wel om een voorwaarde te formuleren wanneer de wortels wel construeerbaar zijn?

Ik heb dat geprobeerd.
 
Ik heb echter alleen wat voorwaarden kunnen opstellen die voldoenden zijn.
Maar nodig en voldoende, dat is me niet gelukt.

[mathfreak]

Ik heb echter alleen wat voorwaarden kunnen opstellen die voldoende zijn.

Kun je die voorwaarden eens posten?

[tempelier]

Voor het herleidbare geval is het voldoende als de derde machtswortel is te trekken.
 
Dit betekent niet dat de tweede machtswortel die er onderstaat te trekken moet zijn.
 
Bedenk dit voorbeeld:
 

\(1+\sqrt{2}=\sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^3}=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\)

 
Dit lijkt een vondst maar is het niet.
Daar het me niet lukte te bewijzen dat het ook een nodige voorwaarden is.
 
Immers:
De sommatie van de twee derde machtswortels zou best wel een konstrueerbaar kunnen zijn terwijl ze het zelf niet zijn.
 
==============
 
Zo is het nodig voor konstrueerbaarheid dat een oplossing een radicaal moet zijn, maar ook dat was een dood spoor.
 
PS.
Alles lijkt er op te wijzen dat er tenminste een oplossing rationeel moet zijn.
Maar ook hier kwam ik niet verder dan dat voldoende is (en dat ze het dan alle drie zijn).

[edgo]

Tempelier.
Het lukt echt niet om m.b.t. de wortels van een kubieke vergelijking met cijfercoefficienten ook maar iets te zeggen over het al dan niet construeerbaar zijn van die wortels. Uitgaand van cijferwaarden weet Cardano zelfs niet eens het verschil tussen 3-de machtswortels en, pakweg, 17-e machtswortels in de oplossing weer te geven. Het zijn altijd 3-e machtswortels waarin die waarden worden gepresenteerd: Cardano genereert die 3-e machtswortels zelf. Het directe gevolg daarvan is dat Cardano ook niet het verre van onbelangrijke verschil tussen wortels die in K2 of juist in K3 liggen weet te duiden. (K2 dus construeerbare getallen, K3 en hoger: niet construeerbaar).
Misschien helpt het volgende bij uw zoeken naar een getalsmatige visualisatie van het probleem. We gaan uit van een kubieke vergelijking  V(x)=x^3 -(4*a^2-6*a+9)*x-(12*a^2-18*a)=0  met als wortels -3, -2a+3 en 2a. Voor deze vergelijking is simpel aan te tonen dat x in K2 ligt d.e.s.d. als a in K2 ligt. Als we Cardano op deze vergelijking loslaten hebben we het voordeel dat we de wortels al hebben en we dus ook 'andersom'  kunnen werken.  Als we x daarbij voorstellen door m+n etc. dan zijn m en n gegeven als de zuivere derdemachten 

\(m^3=(c+\sqrt{d})^3\)

en

\(n^3=(c-\sqrt{d})^3\)

.
 
Het is niet 'handig' om die parameter a in te voeren, het is een vereiste. Vervangen we de cijfermatige wortel -3 echter door een eerstegraads functie van a dan ontstaan er derdemachten van a in een coefficient en is de dubbele implicatie vermoedelijk zelfs helemaal niet te bewijzen.

[edgo]

Sorry, niet opgelet. In laatste alinea is de dubbele implicatie aantoonbaar omdat de wortels bekend zijn. Dat helpt, zogezegd.