pythagoras op een aardbol en sinus-functies

[tuander]

Ik zit met een vraag over de geldigheid van de stelling van Pythagoras in de werkelijke wereld.
 
Een vel papier dat voor je op tafel ligt lijkt plat, maar in werkelijkheid volgt het papier de omtrek van de aarde. Dat betekent dat op dat 'plat' vel papier de stelling van Pythagoras niet opgaat. Dit lijkt me nog vrij duidelijk.
 
Wil je de stelling van Pythagoras toepassen voor een beschrijving van de werkelijkheid, bijvoorbeeld voor natuurkundige formules, dan moet je hier rekening mee houden; Je mag niet aannemen dat iets dat op aarde vlak is (=waterpas loopt) echt een plat vlak is. Op aarde is iets dat waterpas loopt een gekromd vlak.
 
vraag 1: Ik meen dat sinus formules veelal afgeleid zijn van de stelling van Pythagoras. Mijn vraag is nu of sinus formules (sinus, cosinus, tangens, arcsinus, etc.) wel toepasbaar zijn op de werkelijke wereld hier op het aardoppervlak. Mag je deze formules eigenlijk wel zo maar gebruiken, wordt er standaard rekenkundig gecompenseerd voor de kromming van het aardboloppervlak in formules en metingen?
 
Vraag 2: Sinds Einstein neemt men aan dat ruimte gekromd is. Pythagoras is dus helemaal niet meer geldig. Betekent dat dat daarmee alle sinus formules naar de prullenbak verwezen zijn?

[EvilBro]

De stelling van Pythagoras geldt voor Euclidische meetkunde. De werkelijkheid is, als geheel, niet Euclidisch, dus de stelling van Pythagoras zal niet zonder meer toepasbaar zijn. Als echter het gedeelte van de werkelijkheid waar jij een model voor wilt maken zich voldoende gedraagd als een Euclidische ruimte dan is de stelling van Pythagoras prima bruikbaar.

[Math-E-Mad-X]

Pythagoras is dus helemaal niet meer geldig. Betekent dat dat daarmee alle sinus formules naar de prullenbak verwezen zijn?

 
Nee, want wiskundig is er helemaal niks mis met de formules. 
 
Het feit dat de natuur niet perfect euclidisch is (ten eerste omdat het aardoppervlak gekromd is, en ten tweede omdat de tijd-ruimte gekromd is) wil alleen maar zeggen dat we in de praktijk soms andere formules moeten gebruiken, maar dat geldt sowieso in de natuurkunde. Bijvoorbeeld, de wetten van Newton zijn meestal ook niet rechtstreeks bruikbaar omdat we te maken hebben met vrijwing. Maar bruikbaar is natuurlijk iets heel anders dan correct. 
 
Als je een formule alleen als 'correct' wil beschouwen wanneer ze perfect rekening houdt met alle mogelijke praktijk effecten dan is geen enkele formule ooit correct.

[tempelier]

De benadering is verkeerd.
 
Er is de propositie van Pythagoras.
 
In bepaalde meetkunden is die propositie een stelling in andere meetkunden niet of zelfs zinloos.
 
Welke meetkunde we voor de werkelijkheid gebruiken hangt van het doel af.
(blijven de foutjes binnen het aanvaardbare.)
 
PS.
Op de bol is er wel degelijk een equivalent van de stelling van Pythagoras.