Complexe oplossingen

[Freek007]

\(z^2=-1 => z^2=i²  => z=i\)

Is dit goed?

 

Het is half goed.
 
dit is waar:
 

\(z^2=i^2\)

 
maar dit is ook waar:
 

\(z^2=(-i)^2\)

 
Er zijn zus twee oplossingen i en -i
 
Als u dit door hebt gaan we terug naar de echt vorm.

 
Is dat omdat het i tot een 2e macht is, dat je dan telkens het positieve en het negatieve moet nemen?

[tempelier]

Zo ongeveer.
 
we gaan nu verder met:
 

\(z^2-2=0\)

 
dit geeft:
 

\(z^2=-2\)

 
Dit op de zelfde manier bekeken geeft dan de oplossing:
 

\(i\sqrt{2}\quad , \quad -i\sqrt{2}\)

 
Ziet u dat?

[Freek007]

Zo ongeveer.
 
we gaan nu verder met:
 

\(z^2-2=0\)

 
dit geeft:
 

\(z^2=-2\)

 
Dit op de zelfde manier bekeken geeft dan de oplossing:
 

\(i\sqrt{2}\quad , \quad -i\sqrt{2}\)

 
Ziet u dat?

Ja, wortel komt bij de 2 en de macht gaat weg bij de Z.
De min voor de wortel en min eens vervangen voor i en eens voor  -i vervangen

[tempelier]

Goed dan hebben we nog:
 

\(z^4+4=0\)

 
Deze is van de vorm:
 

\(a^4+b^4\)

 
En dus ontbindbaar tot.
 

\(z^4+4=(z^2+2z+2)\cdot (z^2-2z+2)=0\)

 
Het zal misschien wat onduidelijk zijn hoe ik aan deze ontbinding kom.
Maar ik wilde de uitleg hiervan pas doen na de opgave te hebben opgelost.
(als u er dan nog behoeft aan heeft natuurlijk)
 
Heeft u nu al een idee hoe we verder moeten gaan?

[Freek007]

Goed dan hebben we nog:
 

\(z^4+4=0\)

 
Deze is van de vorm:
 

\(a^4+b^4\)

 
En dus ontbindbaar tot.
 

\(z^4+4=(z^2+2z+2)\cdot (z^2-2z+2)=0\)

 
Het zal misschien wat onduidelijk zijn hoe ik aan deze ontbinding kom.
Maar ik wilde de uitleg hiervan pas doen na de opgave te hebben opgelost.
(als u er dan nog behoeft aan heeft natuurlijk)
 
Heeft u nu al een idee hoe we verder moeten gaan?

 
 

Goed dan hebben we nog:
 

\(z^4+4=0\)

 
Deze is van de vorm:
 

\(a^4+b^4\)

 
En dus ontbindbaar tot.
 

\(z^4+4=(z^2+2z+2)\cdot (z^2-2z+2)=0\)

 
Het zal misschien wat onduidelijk zijn hoe ik aan deze ontbinding kom.
Maar ik wilde de uitleg hiervan pas doen na de opgave te hebben opgelost.
(als u er dan nog behoeft aan heeft natuurlijk)
 
Heeft u nu al een idee hoe we verder moeten gaan?

 
Is dat niet via ontbinden via een merkwaardig product?
 
Ik dacht determinant zoeken en de 2e graadsvergelijking op te lossen. Maar ik kom een negatieve determinant uit, dus zo zouden er dan geen reële oplossingen zijn.....
 
Op zich dan niet echt een idee, maar ik zou gokken dat het mss is met de formule van het complex getal? z=x+iy

[tempelier]

Je zit op het goede spoor hoor.
 
Je hebt waarschijnlijk de abc-formule gebruikt.
Nou dat kan maar dan vind je inderdaad een negatieve discriminant.
 
Dat is echter geen probleem in het rijk der complexe getallen.
 
Immers je kunt dit doen.
 

\(\sqrt{-p}=i\sqrt{p}\)

 
Zo moet je de andere vier oplossingen vinden.
Als het niet lukt geef ik wel meer detail.

[Freek007]

 
Immers je kunt dit doen.
 

\(\sqrt{-p}=i\sqrt{p}\)

 
Zo moet je de andere vier oplossingen vinden.
Als het niet lukt geef ik wel meer detail.

 
Met wat moet ik die p vervangen?

[tempelier]

We beginnen met:
 

\(z^2+2z+2=0\)

 
Ik neem aan dat u de abc formule kent:
 
Dan wordt de oplossing volgens deze formule:
 

\(z=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-2\pm i\sqrt{4}}{2}\)

 
Kunt u dat verder uitwerken?

[Freek007]

-i2 en i2
 
klopt dat?

[tempelier]

-i2 en i2
 
klopt dat?

Nee
 
bedenk:
 

\(z=\frac{-2\pm i\sqrt{4}}{2}=\frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i\)

[Freek007]

Nee
 
bedenk:
 

\(z=\frac{-2\pm i\sqrt{4}}{2}=\frac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i\)

Ajaaa
 
Ik had bij dat laatste niet de 2 vóór de plus/min en de 2 van de i gedeeld door 2. 
 
Voorlopig hebben we al de uitkomsten:
(-√2, -1 - i, -1 + i, √2)
 
Nog niet:

( -√2i, -√2i, 1 - i, 1 + i, )

[tempelier]

Dat is dan opgelost.
 
Kun je nu de andere vergelijking die overblijft op de zelfde manier oplossen?
 
Dus deze:
 

\(z^2-2z+2=0\)

[Freek007]

Dat is dan opgelost.
 
Kun je nu de andere vergelijking die overblijft op de zelfde manier oplossen?
 
Dus deze:
 

\(z^2-2z+2=0\)

Eigenlijk gewoon identiek als de uwe van daarstraks, maar met + omdat ge in het begin 2 x - hebt
 
Zoiets?

[tempelier]

Ja maar wat zijn daar de oplossingen van?

[Freek007]

x= 1+i en x= 1-i