Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
- Berichten: 891
Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Stel je construeert een gelijkbenige driehoek met een basiszijde van bv 15 cm en twee basishoeken van 79.9898431656865 graden dan is de vierkantswortel van de deling van de opstaande zijde en de basiszijde gelijk aan de gulden snede zijn (wortel(5)+1)/2.. Ik heb de basishoek op zoveel cijfers na de komma opgegeven om de gulden snede juist te krijgen bij een verwerking bv excel. Bovendien krijg je in de dergelijke driehoek naast de gulden snede nog een mooie vaststelling in die zin dat de afstand tussen de middelpunten van de ingeschreven cirkel en de omschreven cirkel juist gelijk is aan 2 * de straal van de ingeschreven cirkel. Deze punten zijn gelegen op de zogenaamde Euler lijn waarop ook het orthocentrum en het zogenaamde middelpunt van de driehoek is gelegen. Dat het middelpunt van de ingeschreven cirkel op de Euler lijn ligt doet zich slechts voor bij een gelijkbenige of gelijkzijdige driehoek
Rik
Rik
- Berichten: 4.320
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Hoe had je gedacht die driehoek te construeren?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
- Berichten: 891
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
wetende dat die verhouding bestaat tot de gulden snede kan je gemakkelijk een opstaande zijde gaan berekenen. Daarna neem je de helft van de driehoek met twee bekende zijden zijnde helft basis en opstaande zijde plus een rechte hoek en bent er
- Berichten: 4.320
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Ik vroeg hoe je hem dacht te construeren.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
- Berichten: 891
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Vertrekkende van het feit dat de deling van de wortel van de opstaande zijde en de wortel van de basiszijde gelijk is aan de gulden snede zijnde (wortel 5+1)/2 is het toch gemakkelijk om de opstaande zijde te gaan berekenen in het geval van bv een basiszijde van 15 cm komen we op 39.27050..... cm. Daarna bekijken we even de helft van de driehoek met dus een basis van 7.5 cm en schuine zijde van 39.27.... cm en een rechte hoek. Dan is de helft van de tophoek gelijk aantempelier schreef: Ik vroeg hoe je hem dacht te construeren.
boogsin van (7.5/39.27) * sin van 90° of 11.010 graden. De basishoeken zijn gezien de gelijkvormigheid beiden gelijk aan 180° - 90° - 11.010...° of 78.98.. graden.
Voor de berekening van de afstand tussen de 2 middelpunten bestaat een mooie formule U misschien wel bekend namelijk : afstand is
1-8*sin(a/2)*sin(b/2)*sin(c/2), hiervan neemt u de wortel en daarna vermenigvuldigen met de straal van de omschreven cirkel. Wanneer U alles met voldoende cijfers na de komma verwerkt in excel dan zal u zien dat deze afstand perfect gelijk is aan 2 de straal van de ingeschreven cirkel.
-
- Berichten: 7.068
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Dit kan niet. De representatie van Excel werkt niet met oneindige precisie, dus je kunt niet aantonen dat de afstand perfect gelijk is aan 2 (met Excel).Wanneer U alles met voldoende cijfers na de komma verwerkt in excel dan zal u zien dat deze afstand perfect gelijk is aan 2 de straal van de ingeschreven cirkel.
- Berichten: 4.320
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Nogmaals:
een constructie doe je met een ongemerkte liniaal en een passer.
Wat je geeft is een berekening.
Die trouwens niet correct is daar je de hoek waarde afrond dus klopt de rest ook niet meer precies.
een constructie doe je met een ongemerkte liniaal en een passer.
Wat je geeft is een berekening.
Die trouwens niet correct is daar je de hoek waarde afrond dus klopt de rest ook niet meer precies.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
- Berichten: 891
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Hierbij een bewijs van zowel de gulden snede verhouding inclusief de afstand tussen de middelpunten die verwerkt zit in de redeneringEvilBro schreef: Dit kan niet. De representatie van Excel werkt niet met oneindige precisie, dus je kunt niet aantonen dat de afstand perfect gelijk is aan 2 (met Excel).
- Bijlagen
-
- Afbeelding 013.jpg (120.95 KiB) 1070 keer bekeken
-
- Afbeelding 012.jpg (157.69 KiB) 1070 keer bekeken
-
- Afbeelding 011.jpg (121.55 KiB) 1070 keer bekeken
- Berichten: 891
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
ps de m verwijst wel degelijk naar de rand van de kleine cirkel het centroid van de driehoek ligt er ietsje buiten
-
- Berichten: 7.068
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Is de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek een van de twee gelijkbenige zijdes? Of iets anders?... dat de afstand tussen de middelpunten van de ingeschreven cirkel en de omschreven cirkel juist gelijk is aan 2 * de straal van de ingeschreven cirkel.
- Berichten: 891
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
klopt ac op de tekeningEvilBro schreef: Is de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek een van de twee gelijkbenige zijdes? Of iets anders?
-
- Berichten: 7.068
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Stel je hebt een gelijkbenige driehoek:
\(r = |AB| = |AF|\)
\(s = |DE|\)
\(b = |BE| = |EF|\)
\(R = |CH|\)
dan krijg je voor de ingeschreven cirkel:
\(s^2 = (r + \sqrt{r^2 + (s - b)^2})^2 + b^2\)
\(s^2 - b^2 = r^2 + 2 r \sqrt{r^2 + (s - b)^2} + r^2 + (s - b)^2\)
\(s^2 - b^2 = 2 r^2 + 2 r \sqrt{r^2 + (s - b)^2} + s^2 - 2 b s + b^2\)
\(2 b s - 2 b^2 = 2 r^2 + 2 r \sqrt{r^2 + (s - b)^2}\)
\(b (s - b) - r^2 = r \sqrt{r^2 + (s - b)^2}\)
\(b^2 (s - b)^2 - 2 r^2 b (s - b) + r^4 = r^2 (r^2 + (s - b)^2) = r^4 + r^2 (s - b)^2\)
\(b^2 (s - b) - 2 r^2 b = r^2 (s - b)\)
\(b^2 (s - b) = r^2 (s + b)\)
\(r = b \sqrt{\frac{s - b}{s + b}}\)
en voor de omschreven cirkel:
\(s^2 = b^2 + (R + \sqrt{R^2 - b^2})^2\)
\(s^2 - b^2 = R^2 + 2 R \sqrt{R^2 - b^2} + R^2 - b^2\)
\(s^2 - 2 R^2 = 2 R \sqrt{R^2 - b^2}\)
\(s^4 - 4 s^2 R^2 + 4 R^4 = 4 R^2 (R^2 - b^2) = 4 R^4 - 4 R^2 b^2\)
\(s^4 - 4 s^2 R^2 = - 4 R^2 b^2\)
\(s^4 = 4 R^2 (s^2 - b^2)\)
\(R = \sqrt{\frac{s^4}{4 (s^2 - b^2)}}\)
Dus:
\(|AH| = \left|\sqrt{\frac{s^4}{4 (s^2 - b^2)} - b^2} - b \sqrt{\frac{s - b}{s + b}}\right|\)
Als je nu jouw driehoek invoert:
\(s = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}\)
\(b = \frac{1}{2}\)
Dan kom je niet uit op wat jij zegt. Zie jij of ik een rekenfout heb gemaakt?-
- Berichten: 7.068
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Ik heb mijn fout gevonden. Ik had gemist dat er stond "de vierkantswortel van de deling van de opstaande zijde en de basiszijde". De berekening is dus goed, maar de waarden die ik invul niet.
Stel we introduceren alfa als de verhouding tussen opstaande zijde en basiszijde:
Stel we introduceren alfa als de verhouding tussen opstaande zijde en basiszijde:
\(\alpha = \frac{s}{2 b}\)
Hiermee wordt (met vereenvoudigen):
\(|AH| = b \left|\frac{2 \alpha (\alpha - 1)}{\sqrt{4 \alpha^2 - 1}}\right|\)
Deze afstand uitgedrukt in ingeschreven cirkelstralen wordt dan:
\(\left|\frac{2 \alpha (\alpha - 1)}{2 \alpha - 1}\right|\)
Als je nu de juiste verhouding neemt:
\(\alpha = \left(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)
dan:
\(\left|\frac{2 \frac{3 + \sqrt{5}}{2} (\frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1)}{2 \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1}\right| = \left|\frac{(3 + \sqrt{5}) \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}{2 + \sqrt{5}}\right| = \left|\frac{\frac{8 + 4 \sqrt{5}}{2}}{2 + \sqrt{5}}\right| = 2\)
- Berichten: 891
Re: Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek
Ik had uw berekening even uitgevoerd en ze klopt inderdaad met mijn formule die ik in het begin heb geplaatst maar werkt met driehoeksmeetkunde. Ik ben akkoord dat excel geen afdoend bewijs is voor een bewijs van de gulden snede vandaar het bewijs op de foto's waar geen enkele link is met een excel waarde, enkel dat de afstand tussen het incenter en het circumcenter gelijk is aan 2 keer de straal van de straal van de ingesloten cirkel wat resulteert in een gulden snede tussen de zijdenEvilBro schreef: Ik heb mijn fout gevonden. Ik had gemist dat er stond "de vierkantswortel van de deling van de opstaande zijde en de basiszijde". De berekening is dus goed, maar de waarden die ik invul niet.
Stel we introduceren alfa als de verhouding tussen opstaande zijde en basiszijde:
\(\alpha = \frac{s}{2 b}\)Hiermee wordt (met vereenvoudigen):
\(|AH| = b \left|\frac{2 \alpha (\alpha - 1)}{\sqrt{4 \alpha^2 - 1}}\right|\)Deze afstand uitgedrukt in ingeschreven cirkelstralen wordt dan:
\(\left|\frac{2 \alpha (\alpha - 1)}{2 \alpha - 1}\right|\)Als je nu de juiste verhouding neemt:
\(\alpha = \left(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)dan:
\(\left|\frac{2 \frac{3 + \sqrt{5}}{2} (\frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1)}{2 \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - 1}\right| = \left|\frac{(3 + \sqrt{5}) \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}{2 + \sqrt{5}}\right| = \left|\frac{\frac{8 + 4 \sqrt{5}}{2}}{2 + \sqrt{5}}\right| = 2\)