Wortels complexe getallen

[Wiskundeblunder]

Ik zou zeggen drie wortels waarvan ofwel de combinatie: 1 reëel en 2 complex, ofwel 3 reële wortels. Reden: complexe wortels komen altijd in paren voor.

Verder zou ik niet weten hoe ik moet beginnen aan de uitwerking. We zijn in de lessen nooit gestart met een eigenwaardenvergelijking. Hebben eigenwaardenvergelijkingen wel eens gezien bij een ander hoofdstuk, maar ik kan het verband niet zien. Ik kan er wel de nulpunten uithalen via Horner, maar het mag niet via Horner.

[Bart23]

Ik schrijf even x ipv lambda.
De afgeleide van de veelterm in het linkerlid is 3x²-4x+6. Dat is altijd strikt positief (D<0). Dus de functie stijgt. Dus is er precies één reëel nulpunt.

Ben je zeker van de rest van de opgave?

Als a-ai een nulpunt is, dan ook a+ai, dan is de veelterm in linkerlid (x²-2ax+2a²)(x-b)=x³-(2a+b)x²+(2ab+2a²)x-2a²b.
Als je dan de coëfficiënten van x² en x gelijk stelt aan resp. -2 en 6, krijg ik geen reële oplossing voor a...

[Bart23]

Of is 'het complex getal' in de opgave iets dat niet op de foto staat, en dus niet één van de wortels?

[Wiskundeblunder]

Ik ben zeker van de rest van de opgave, en ik denk dat er niks ontbreekt (is een oude examenvraag normaal maar dat is wat studenten heb doorgegeven van wat ze hebben onthouden van het examen dus nooit 100% zeker dat dat helemaal hetzelfde was en dat ze geen detail zijn vergeten)

Indien je nog wakker bent en zin hebt in complexe getallen zit ik hier nog met een vraag. Mijn probeersel staat er ook bij maar ik geraak niet verder..

Verder zou ik redenering dat dit vectoren zijn met eenzelfde lengte / complexe getallen die op eenzelfde cirkel liggen want ze hebben eenzelfde modulus. Is dit allebei juist?

 

[Bart23]

OK, opletten: je berekent de absolute waarde verkeerd.

\(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)

. Jij doet

\(\sqrt{a^2+b^2i}\)

.
Nu naar de vraag:
|z-2i| betekent: de afstand van het (variabele) punt z tot het complex getal 2i.
De vraag die dus eigenlijk gesteld wordt, is: bepaal alle punten van het complexe vlak die even ver liggen van 2i als van -4.
De oplossing is natuurlijk de middelloodlijn tussen 2i en -4.
De vergelijking die je opschreef beschrijft deze rechte.

[Wiskundeblunder]

Mijn voorgaande redenering was dus fout? Of is het deel "dit zijn vectoren zijn met eenzelfde lengte" wel juist, maar is "complexe getallen die op eenzelfde cirkel liggen want ze hebben eenzelfde modulus." fout?

Ik heb het proberen tekenen en uiteraard krijg ik de punten 2i en -4 wel in mijn complexe vlak, maar ik heb geen idee hoe ik die rechte teken. Aha! Toch gevonden Heb deze vgl verder uitgewerkt naar b=-2a-3 (en dan heb ik het getekend door punten voor a in te vullen in de vgl om de bijbehorende y-waarde te vinden ). Bedankt voor je hulp!
 
Wel zit ik eigenlijk nog steeds bij mijn eerste vraag vast (daar met de eigenwaardenvgl). Wij hebben dat zo niet gezien dus ik versta je redenering niet. Jij leidt de eigenwaardevgl af en dan krijg je een veelterm tot de 2e graad. stel je deze dan gelijk aan (x+iy)^2? Want wij hebben de berekening van de wortels via deze vgl gedaan, waarbij we dan x +2xy - y¨2 krijgen en de reële en imaginaire delen gelijkstellen.

[Bart23]

De punten uit de oplossing hebben niet dezelfde lengte, en liggen dus niet op een cirkel.
Wat wel geldt is dat elk punt van de oplossing evenver van 2i ligt als van -4. Dus het lijnstuk da z met 2i verbindt, is even lang als het lijnstuk dat z met -4 verbindt. Voor een andere z uit de oplossing geldt dit ook, maar is die lengte anders.
De oplossing vormt een rechte (geen cirkel), namelijk de middelloodlijn. Die kan je tekenen door een loodlijn op het lijnstuk [2i,-4] te tekenen door het midden van dat lijnstuk (dus door i-2).

[Wiskundeblunder]

Aha! Toch gevonden   Heb deze vgl verder uitgewerkt naar b=-2a-3 (en dan heb ik het getekend door punten voor a in te vullen in de vgl om de bijbehorende y-waarde te vinden   ). Bedankt voor je hulp!
 
Wel zit ik eigenlijk nog steeds bij mijn eerste vraag vast (daar met de eigenwaardenvgl). Wij hebben dat zo niet gezien dus ik versta je redenering niet. Jij leidt de eigenwaardevgl af en dan krijg je een veelterm tot de 2e graad. stel je deze dan gelijk aan (x+iy)^2? Want wij hebben de berekening van de wortels via deze vgl gedaan, waarbij we dan x +2xy - y¨2 krijgen en de reële en imaginaire delen gelijkstellen.

[Bart23]

[Wiskundeblunder]

Bedankt voor je grafiek, maar deze was intussen gelukt. Het is met de voorgaande vraag (deze met de eigenwaardevgl dat ik nog problemen heb). Wij hebben de wortels steeds gezocht via (x-yi)^2 = x^2+2xy -y^2. Ik vind het moeilijk om in te zien hoe jij het doet (eigenwaardenvgl hebben we hierbij nooit gebruikt, wel eens gezien bij vectorruimten om de eigenwaarden te berekenen maar door gebrek aan inzicht zie ik de analogie niet en zie ik niet hoe jij het berekend hebt. Het enige wat ik kan denken is dat je nadat je de eigenwaardenvgl hebt afgeleid deze veelterm van de 2e graad gelijkstelt aan x^2+2xy-y^2, maar ik weet niet of dit zo is? 

[Bart23]

Dat met die afgeleide gebruik ik niet om de nulpunten te berekenen. Dat zegt alleen dat de functie heel de tijd stijgt (omdat de afgeleide positief is), en er dus maar één reëel nulpunt kan zijn (en dus ook 2 toegevoegde complexe).
Ik begrijp niet goed waarom je met (x+iy)² wil werken.
Er zijn 3 nulpunten: één reëel nulpunt b en twee toegevoegde a+ai en a-ai (omdat gegeven is, als ik het goed begrijp, dat er een complexe oplossing gezocht wordt waarvoor het reële en imaginaire deel tegengesteld zijn)
Dan je kan je de veelterm schrijven als

\((x-b)(x-(a+ai))(x-(a-ai))\)

wat x³-(2a+b)x²+(2ab+2a²)x-2a²b geeft.

[Wiskundeblunder]

Ik denk dat ze bedoelt met "het reëel deel is gelijk aan het tegengestelde van het imaginair deel" dat ze bedoelt van het complex getal dat we zoeken en dat dat dus niet over de wortels gaat, gezien de vraag is: Bepaal de wortels en het complex getal en c en teken het complex getal. (+ ook nog bijkomende vragen waarom maximum n verschillende wortels en wat vormen de wortels)

[Bart23]

Maar wat is dan het complexe getal dat we zoeken?

[Wiskundeblunder]

Het complex getal waarvan het reëel deel gelijk is aan het tegengestelde van het imaginair deel en met de wortels te bepalen uit de eigenwaardenvergelijking?

[Bart23]

Wat is eigenlijk het oorspronkelijke probleem dat aanleiding gaf tot de karakteristieke vergelijking?