related rates

[ukster]

Een raket heeft op 2km hoogte een verticale snelheid van 300km/h.
Wat is op dat moment de toename van de elevatiehoek Θ ,waargenomen door een persoon op de grond op 5km van het lanceerplatform.
mijn berekening geeft ω=dΘ/dt=v/r=1/60 rad/sec≈0,0166666 rad/sec

raket.jpg (18.93 KiB) 783 keer bekeken

De juiste uitkomst is echter 15/1044 rad/s ≈ 0,014367816 rad/s
Het verschilt teveel, waar gaat het fout?
 

[TD]

Als de hoogte x is, wordt de hoek gegeven door arctan(x/5). Als je wil eindigen in rad/s, de afstanden ook uitdrukken in meters (voor de verhouding 2/5 = 2000/5000 maakt dat natuurlijk niet uit). Dan geldt (kettingregel):
 

\(\frac{\mbox{d}\Theta}{\mbox{d}t}=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\arctan\frac{x}{5000}\right)\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\frac{x}{5000}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{5000}\right)^2}\frac{1}{5000}\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\)

 
De snelheid waarmee x(t) verandert is gegeven, ook hier omzetten in m/s; dus op het moment van x = 2(000):
 

\(\frac{\mbox{d}\Theta}{\mbox{d}t}=\frac{1}{1+\left(\frac{2}{5}\right)^2}\frac{1}{5000}\frac{300}{3.6}\)

[ukster]

Oke, dus mijn voorstelling van zaken is te simpel en nog fout ook!
Het lijkt meer op een benadering!

[TD]

Oke, dus mijn voorstelling van zaken is te simpel en nog fout ook!
Het lijkt meer op een benadering!

 
Eigenlijk begreep ik niet goed wat je daar precies deed:
 

mijn berekening geeft ω=dΘ/dt=v/r=1/60 rad/sec≈0,0166666 rad/sec

 
Wat zijn v en r? Waar gebruik je de snelheid waarmee de raket beweegt? En waar gebruik je het gevraagde moment (nl. wanneer de raket 2km hoog is)?

[ukster]

v snelheidscomponent loodrecht op waarnemer en r afstand tot waarnemer
 
v=ω.r
 
ω=dΘ/dt

[EvilBro]

De ontbinding van de snelheid is onjuist (zie rode lijn).

Ontbinding.png (34.46 KiB) 786 keer bekeken

[ukster]

Ach...natuurlijk!

raket.jpg (16.82 KiB) 788 keer bekeken

Dan wordt ω=Θ'=dΘ/dt = (300/3,6).5/√29/√2,9.10⁷ =0,014367816 rad/s en dat is correct!
Toch wel iets sneller en zeker eenvoudiger (zonder differentiëren) dan de (formeel juiste )methode van TD in bericht #2
 
Als de verticale snelheid gelijk blijft (300km/h) kom ik op een hoekvertraging α=Θ''= 0,000176076 rad/s²≈0,01º/s²

[ukster]

d.w.z. gemiddeld (α=Δω/Δt) (tussen 2km en 3km hoogte)