[natuurkunde] Uitleg gezocht m.b.t. differentiëren en integreren natuurkundevergelijkingen.

[ThomC]

Beste,
 
Tijd geleden ben ik begonnen met een post-hbo opleiding. Omdat ik mts diploma heb, heb ik een schakeljaar met wis en nat gevolgd. Het gebruikte wiskundeboek: Basisboek Wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch. Hieruit zijn dan de benodigde hoofdstukken voor de post-hbo behandeld.
De behandelde stof: breuken, wortels, machten, rekenen met letters, eerstegraadsvergl, tweedegraadvergl, deel meetkunde (lijnen in het vlak), functies en grafieken (gedeeltelijk), goniometrie, exponentiële functies en logaritmen, differentiëren, integreren (partieel, substituties, expliciete substituties), oplossen van differentiaalvergelijkingen van de eerste en tweede orde.
 
De stof was moet ik zeggen voor mij redelijk wazig. Helemaal voorstellen wat precies de toepassing van dit alles is kan ik me niet. Echter de sommetjes vond ik niet verkeerd om te maken en dit lukte dan ook redelijk goed. Het schakeljaar heb ik gehaald en de laatste toets over integreren en differentiëren deze kon ik zonder veel problemen maken. 
 
Nu ben ik begonnen met de werkelijke opleiding. Ondertussen heb ik enkele voorbeelden gehad van sommen/vergelijkingen waarvan verondersteld wordt dat je deze kan oplossen. Echter ik snap er werkelijk niks van en zie de wiskunde er niet in terug komen. Het vak met de ingewikkeldste vergelijkingen start pas over een dikke maand. Echter in mijn huidige vak heb ik het ook nodig en hier is het nog niet echt ingewikkeld volgens mij. Dit kan ik dan zeggen omdat mijn klasgenoten het zo uit hun duim lijken te schudden. Ook hier zie ik de wiskunde in een vergelijking niet terug. Laat staan de regels die toegepast worden om tot een differentiaal of integraal te komen.
 
In mijn directe omgeving kan niemand helpen. Vandaar dat ik via deze weg graag met iemand in contact kom die me ermee op weg kan helpen. 
 
In de bijlage heb ik een tabel geüpload waarin een formule wordt gegeven met in de kolom erna de afgeleide. Ik zie niet hoe ze aan deze afgeleide komen en welke regels en bewerkingen ze uitvoeren om tot de afgeleide te komen. 
 
Nu hoop ik dat er iemand iets kan met deze info. En wel ziet wat er gebeurd met de betreffende formules om ze te differentiëren, als dat het geval is hoor ik het graag! 
 
Alvast bedankt,
 
Gr Thom
 
 
 
 

[Xilvo]

De formules hebben kennelijk iets met thermodynamica te maken maar waar ze precies voor staan is me niet zo snel duidelijk.
Maar dat is ook niet nodig om de afgeleide te bepalen.
 
Om te beginnen moet je weten naar welke variabele je de afgeleide wilt/moet bepalen. In veel sommetjes is dat 'x' maar dat is zeker niet altijd het geval.
In het voorbeeld dat je meestuurt is het kennelijk wèl 'x'.
 
Ik pik er eentje uit:
 
r . x_s - ξ (x - x_s ) r₀
 
blijkbaar is 'x' de variabele waarnaar de afgeleid moet worden bepaald. Dat is dus een ander variabele dan x_s .
 
Eerste term:
 
r . x_s
 
Komt geen x in voor, is dus - wat x betreft -  een constante. Afgeleide is nul.
 
Tweede term:
 
- ξ (x - x_s ) r₀
 
Er zit een x in (x - x_s ). Je kunt nu verder gaan door het uit eerst te schrijven of door de kettingregel toe te passen. Ik doe het op de laatste manier.
 
Afgeleide van - ξ (x - x_s ) r₀ is afgeleide van - ξ (x - x_s ) r₀ naar (x - x_s ) maal de afgeleide van (x - x_s )   naar x.
 
Dat wordt dan - ξ. r₀  maal 1. En dat levert - ξ. r₀ , zoals ook in de tabel staat.

[ThomC]

Allereerst bedankt voor de snelle reactie.
Het heeft idd met thermodynamica te maken, met betrekking tot de koudetechniek.  Gister heb ik school gehad, ben dan pas rond 23.00h thuis. Daarom gister geen reactie. En vandaag tot laat gewerkt. De reactie van jou had ik wel al eens bekeken en het heeft me zeker al iets verder gebracht. Echter zie ik nog steeds een en ander niet in. Heb er nog enkele vragen over. Heb geprobeerd het zo duidelijk mogelijk te maken, of dit gelukt is zal wel blijken zeker . Heb geprobeerd extra bijlage toe te voegen, maar het bestand was helaas te groot. 
 
(1)Wanneer er staat dh/dx t is constant (zoals in de laatste kolom), mag ik dan zeggen dat x dan de variabele is? 
(2)Stel er staat nu dx/dh t is constant. Is het dan zo dat h de variabele is? En dat ik in dat geval alle termen waarin dan geen -h- staat, als constante  voor -h- kan zien m.a.w. de term wordt 0.
 
(3)In eigen woorden. Wanneer er in een formule meerdere termen staan, staat in een term dan geen x  en er staat dh/dx als functie (m.a.w. bereken de afgeleide naar x). Dan is de betreffende term een constante voor x? Dus dan is de term 0, omdat de afgeleide van een constante 0 is?
 
Als dit al klopt dan ben ik al veel verder als gister.
 
Het laatste toepassen van de kettingregel. In m'n wisboek staat als definitie:
(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)
 
Het is voor mij moeilijk hier een helder beeld bij te krijgen. Ben ook hierom maar youtube filmpjes aan het kijken, met de basiskennis nog eens uitgelegd. 
 
(4)Als ik het nu goed begrepen heb, is de afgeleide van een bepaalde functie, een functie om in de ''originele'' functie de raaklijn en de richtingscoëfficiënt hiervan te kunnen berekenen. Dit doet men dan door een delta X en bijbehorende delta Y op elkaar te delen. Het verschil is dan zo klein mogelijk. 
 
Wanneer je dit toepast op het door jou uitgewerkte v.b. 
 
(5)Is het dan zo dat de term - ξ (x - x_s ) r_{0      de f in de bovenstaande functie voorstelt? 
(6)En dat dan} (x - x_s ) de g in bovenstaande functie voorstelt?
(7)Alle termen zonder -x- komen dan niet terug in de definitie?
 
Dan en daar mis ik het nog compleet zeg je:
 
Afgeleide van - ξ (x - x_s ) r_{0  (=f??)} is afgeleide van - ξ (x - x_s ) r₀ naar (x - x_s ) maal de afgeleide van (x - x_s ) (=g??)   naar x.
 
 (8)afgeleide van - ξ (x - x_s ) r₀ naar (x - x_s ). Streep je hier de gelijke factor tegen elkaar weg? Om zo: - ξ r₀   te krijgen.
 
(9) Als dit zo is in wat voor soort wiskunde sommen over diff zou ik dat kunnen terugvinden?
 
De volgende stap is dan: maal de afgeleide van (x - x_s ) naar x.
 
(10) Dit wordt dan 1, streep je hier ook de gelijke factoren weg? Maar wat gebeurd er dan met ( - x_s ) en hoe kom je op 1?
 
(11) De eerste bewerking doe je dan naar  (x - x_s ) en de volgende naar x. Hoezo is dat?
 
Hopelijk kan je er iets mee en zie je het nog zitten er eens na te kijken.
 
Alvast bedankt!!
 
 

[Xilvo]

Even kort:
 
1) Nee. Niet zonder meer. Dan zou je (ik) moeten weten waar de formules voor staan. Wiskundig is het in ieder geval niet vanzelfsprekend.
 
2) Zelfde antwoord. Als je dx/dh moet berekenen is h uiteraard de variabele. Maar daaruit volgt niet noodzakelijkerwijs dat het ook de variabele is voor andere berekeningen.
Opmerking: Let op met symbolen. In de tabel staat 'T', daarmee wordt vaak de temperatuur bedoeld. Jij schrijft hier 't', vaak voor tijd gebruikt.
 
3) Als hiervoor, dh/dx *hoeft* niets te betekenen voor wat de variabele is. Voor de rest heb je gelijk, geen x, dan constante en afgeleide van term is nul *tenzij* er iets staat waarvan je weet dat het een functie van x is. dus a.b is een constante, maar niet als bekend is dat a=x³.
 
De kettingregel is makkelijk te begrijpen.
 
Stel, je hebt een kast met tandwielen (hoe die er van binnen uit ziet doet er niet toe).
Er komen twee assen uit, gelabeld 'x' en 'y'. Als je x draait, draait y drie maal zo snel. Eén omwenteling van x, drie van y.
 
y=3.x. De afgeleide dy/dx = 3. Dit betekent dat y drie maal zo snel verandert als x. 
 
Tweede kast, as p en as q. Als je p draait, dan draait q 2/3 = 0,667 maal zo snel, iets langzamer dus.
 
q=0,667.p en dq/dp=0,667
 
Nu koppel ik y aan p, en wil weten hoe snel q draait als ik aan x draai. Omdat p=y noem ik die verder y.
 
Nou, één omwenteling van x geeft er drie van y. En drie omwentelingen van y geeft 3 . 0,667 = 2 omwentelingen van q
 
Hoe verandert q met x? Dat is hoe y verandert met x, maal hoe q verandert met y.
 
dq/dx = dy/dx . dq/dy = 3 . 0,667 = 2
 
En dat is de kettingregel.
 
Je zou ook een voorbeeld kunnen verzinnen met wisselkoersen.
 
Als je niet weet hoeveel roebel je krijgt voor een euro maar wel hoeveel yen je voor een euro krijgt en hoeveel roebel per yen, dan kun je uitrekenen hoeveel roebel je voor een euro krijgt. Je gebruikt dan (misschien zonder het te weten) de kettingregel. 
 
4) Ja. Anders gezegd, hoe y=f(x) verandert met x. In bovenstaand voorbeeld zijn die veranderingen steeds hetzelfde (3 en 0,667), de functies zijn dan rechte lijnen en de afgeleide is overal hetzelfde.
Dat is niet zo bij bijvoorbeeld y = x^3.
 
5) Ja 
6) Klopt eveneens
7 Ja.
 
8) - ξ (x - x_s ) r₀ naar (x - x_s ). De variable is dus (x - x_s ). Noem die even a.
Berken dus de afgeleide van - ξ .a .r₀ naar a. Dat is - ξ . r₀
 
9) In iedere som waar je niet op een andere manier de afgeleide op een makkelijke manier kunt uitrekenen.
In het voorbeeld had je ook - ξ (x - x_s ) r0 kunnen uitschrijven als - ξ x r₀ +  ξ x_s r₀. Dan was de tweede term constant, dus afgeleide nul.
Maar zoiets lukt niet altijd of is een stuk lastiger.
 
9, 10) (x - x_s ) naar x. Dus f=x-x_s, bereken df/dx. Afgeleide van eerste term dx/dx=1, tweede term x_s is constant, afgeleide is nul.
 
11) Kettingregel, zoals ik bij de tandwielkasten eerst de afgeleide naar x nam , bij de tweede kast naar y.
 
Als je de uitleg van de kettingregel helemaal snapt zou dit geen probleem meer moeten zijn.
 
Even kort werd toch wat langer...
 
Ik hoop  dat je hier wat aan hebt, ik kan helaas niet altijd zo'n uitgebreid antwoord geven. 

[Xilvo]

Ik vond op internet deze pdf:
 
http://www.koudecentraal.nl/documents/leergangen/Koudeinstallaties%201979-1982%20pag%20165-184.pdf
 
Op blz. 17 staat dezelfde tabel als in de bijlage van je eerst bericht, maar beter opgemaakt. Nu is mij duidelijk wat bedoeld wordt.
 
In de tweede kolom staan formules voor de enthalpie h, in de derde de formules voor dh/dx bij constante temperatuur.
(Ik las in jouw document dat dh/dx maal de temperatuur constant was)
 
Nu is mij wèl duidelijk dat, inderdaad, de afgeleide van h (=formule tweede kolom) naar x bedoeld wordt.

[ThomC]

Hartelijk bedankt Xilvo!!
 
Je uitleg heeft me een heel eind op weg geholpen om het te begrijpen. Nu kan ik er al veel meer van maken. Ik ga er weer eens aan zitten en dan probeer ik de andere ook eens uit te werken. Hopelijk lukt dat al wat beter nu. 
 
Vind het echt super van je, dat je de moeite ervoor neemt en voorbeelden hebt bedacht waar ik wat mee kan.
 
Gelukkig weet ik nu waar ik iets moet vragen, en zie ik het tot een goed einde brengen van mn opleiding weer een stukje zonniger in.

[Xilvo]

Dank je. Succes!