Niet-reflexief en anti-reflexief
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 51
Niet-reflexief en anti-reflexief
Kan iemand alstublieft het verschil uitleggen tussen deze twee? Bedankt
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
Laat R een relatie zijn, dan is R antireflexief als voor alle elementen a geldt dat (a,a) niet tot R behoort. R is niet-reflexief als er minstens 1 a is waarvoor dit geldt. Het verschil zit hem dus in het gebruik van de universele kwantor bij het geval van antireflexiviteit en het gebruik van de existentiële kwantor bij het geval van niet-reflexiviteit.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Berichten: 51
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
Laat R een relatie zijn, dan is R antireflexief als voor alle elementen a geldt dat (a,a) niet tot R behoort. R is niet-reflexief als er minstens 1 a is waarvoor dit geldt. Het verschil zit hem dus in het gebruik van de universele kwantor bij het geval van antireflexiviteit en het gebruik van de existentiële kwantor bij het geval van niet-reflexiviteit.
Dus < is niet-reflexief en anti-reflexief, want 2 is bijvoorbeeld niet kleiner dan 2( niet-reflexief) en alle andere zijn ook zo dus (anti-reflexief)?
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
Nee, < is een anti-reflexieve relatie. Ga nog eens zorgvuldig het verschil tussen de universele en de existentiële kwantor na en kijk eens welke kwantor bij de definitie van een anti-reflexieve relatie en welke kwantor bij de definitie van een niet-reflexieve relatie gebruikt wordt.Jackshirak schreef: Dus < is niet-reflexief en anti-reflexief, want 2 is bijvoorbeeld niet kleiner dan 2( niet-reflexief) en alle andere zijn ook zo dus (anti-reflexief)?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Berichten: 51
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
Ik zei toch dat het anti-reflexief is?Nee, < is een anti-reflexieve relatie. Ga nog eens zorgvuldig het verschil tussen de universele en de existentiële kwantor na en kijk eens welke kwantor bij de definitie van een anti-reflexieve relatie en welke kwantor bij de definitie van een niet-reflexieve relatie gebruikt wordt.
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
Je zei dat < ook niet-reflexief is, en dat klopt niet. Een relatie kan nooit tegelijk anti-reflexief en niet-reflexief zijn.Jackshirak schreef: Ik zei toch dat het anti-reflexief is?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Berichten: 51
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
Je zei toch net als er minstens 1 element is dan is het niet-reflexief. Als het voor alle elementen zo is, dan is er toch ook minstens 1 element waar het zo is?Je zei dat < ook niet-reflexief is, en dat klopt niet. Een relatie kan nooit tegelijk anti-reflexief en niet-reflexief zijn.
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
Even de formele definities met behulp van kwantoren:Jackshirak schreef: Je zei toch net als er minstens 1 element is dan is het niet-reflexief. Als het voor alle elementen zo is, dan is er toch ook minstens 1 element waar het zo is?
R is anti-reflexief als
\(\forall_a[(a,a)\notin R]\)
R is niet-reflexief als \(\exists_a[(a,a)\notin R]\)
In het pijldiagram van een anti-reflexieve relatie is er geen enkel punt dat via een lus met zichzelf verbonden is. Bij een niet-reflexieve relatie heb je punten die wel via een lus met zichzelf verbonden zijn, maar ook minstens 1 punt waarbij dat niet zo is, vandaar dus de universele kwantor bij de definitie van een anti-reflexieve relatie en de existentiële kwantor bij de definitie van een niet-reflexieve relatie."Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
- Berichten: 2.906
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
mathfreak schreef: Bij een niet-reflexieve relatie heb je punten die wel via een lus met zichzelf verbonden zijn,
Waar haal je die definitie vandaan? Voor zover mij bekend wil niet-reflexief gewoon zeggen dat er minimaal één punt is dat niet met zichzelf verbonden is, en in het extreme geval kan het ook zo zijn dat er geen enkel punt met zichzelf verbonden is. Anti-reflexief is dus een speciaal geval van niet-reflexief, en Jackshirack heeft, voor zover ik weet, gelijk.
Overigens volgt dat ook gewoon uit je eigen definities met kwantoren die je hierboven geeft. De existentiele kwantor zegt alleen maar dat er minimaal één paar moet bestaan die aan de eis voldet, maar zegt niet dat er ook minimaal één ander paar moet bestaan die er niet aan voldoet (en daar ben ik wel 100% zeker van).
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
-
- Berichten: 51
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
Waar haal je die definitie vandaan? Voor zover mij bekend wil niet-reflexief gewoon zeggen dat er minimaal één punt is dat niet met zichzelf verbonden is, en in het extreme geval kan het ook zo zijn dat er geen enkel punt met zichzelf verbonden is. Anti-reflexief is dus een speciaal geval van niet-reflexief, en Jackshirack heeft, voor zover ik weet, gelijk.
Overigens volgt dat ook gewoon uit je eigen definities met kwantoren die je hierboven geeft. De existentiele kwantor zegt alleen maar dat er minimaal één paar moet bestaan die aan de eis voldet, maar zegt niet dat er ook minimaal één ander paar moet bestaan die er niet aan voldoet (en daar ben ik wel 100% zeker van).
Zeer bedankt.
-
- Berichten: 51
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
Waar haal je die definitie vandaan? Voor zover mij bekend wil niet-reflexief gewoon zeggen dat er minimaal één punt is dat niet met zichzelf verbonden is, en in het extreme geval kan het ook zo zijn dat er geen enkel punt met zichzelf verbonden is. Anti-reflexief is dus een speciaal geval van niet-reflexief, en Jackshirack heeft, voor zover ik weet, gelijk.
Overigens volgt dat ook gewoon uit je eigen definities met kwantoren die je hierboven geeft. De existentiele kwantor zegt alleen maar dat er minimaal één paar moet bestaan die aan de eis voldet, maar zegt niet dat er ook minimaal één ander paar moet bestaan die er niet aan voldoet (en daar ben ik wel 100% zeker van).
Zeer bedankt.
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
De beschrijving met behulp van het pijldiagram heb ik uit deel II van Johan Wansinks Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren uit 1971. Boven het daar getekende pijldiagram staat: "In het pijldiagram is er minstens één punt waarbij geen lus staat". Ik heb al de formele definities gegeven met behulp van kwantoren, dus ik laat het hier verder bij.Math-E-Mad-X schreef:
Waar haal je die definitie vandaan?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
- Berichten: 2.906
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
mathfreak schreef: Boven het daar getekende pijldiagram staat: "In het pijldiagram is er minstens één punt waarbij geen lus staat".
Maar dat was niet de kwestie. De kwestie was of er ook minstens een punt moet bestaan waarbij er wel een lus is.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
In het desbetreffende pijldiagram worden inderdaad een aantal punten aangegeven die wel een lus hebben. Het antwoord is dus ja.Math-E-Mad-X schreef:
Maar dat was niet de kwestie. De kwestie was of er ook minstens een punt moet bestaan waarbij er wel een lus is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
- Berichten: 2.906
Re: Niet-reflexief en anti-reflexief
Dus jij concludeert dat er altijd minstens één punt moet bestaan waarbij er wel een lus is, op basis van één voorbeeld waarbij dat het geval is?
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }