Hoofdstuk 3 De Wortels van in K liggende Vergelijkingen.
Hoofdstuk 3 begint met de beschrijving van de verzameling van de construeerbare coördinaten. Daarbij komt direct al de term Lichaamsuitbreiding voorbij en die vraagt mogelijk om enige uitleg. Omdat e.e.a. later nog een keer uitgebreid aan de orde komt, hier alvast die uitleg.
Een lichaam is de benaming voor een verzameling waarin 2 operaties zijn gedefinieerd, meestal “som” en “product” genoemd. Het is, als het begrip niet bekend is, het handigste om daarbij van meet af aan te denken aan de verzameling die iedereen als zijn broekzak kent: de verzameling R van de getallen waarmee we in het dagelijkse leven rekenen. R is het lichaam van de reële getallen.
De operaties in R voldoen aan een aantal eisen ofwel wetten, zoals de commutatieve wetten 2+3=3+2 en 2x3=3x2. Zo ook de associatieve wetten: 2+(3+4)=(2+3)+4 en 2x(3x4)=(2x3)x4. Zo zijn er nog enkele, ook in verband met de speciale betekenissen van 0 en 1. Allemaal van essentieel belang om rekenen, op een manier die we vertrouwen, mogelijk te maken (dat is natuurlijk ook andersom). Nodig is bovendien dat die wetten voor alle elementen van de verzameling gelden en dat alle antwoorden op hun beurt ook weer tot de verzameling behoren. De verzameling heet dan gesloten onder die operatie(s).
Onze funds voldoen, zoals eerder werd gemeld, niet aan beide genoemde wetten en hun verzameling is dan ook geen lichaam, waarmee overigens goed valt te leven want de meeste wiskundige verzamelingen hebben geen lichaamstructuur.
Als we aan een lichaam een Fremdkörper, b.v. de imaginaire eenheid i (de vierkantswortel uit -1) toevoegen, dan blijven alle wetten onveranderd van toepassing: (3+25i) +(7-i) = 10+24i. Men noemt het nieuw gevormde lichaam een lichaamsuitbreiding, in dit geval aangeduid met R(i). Het kan zijn dat aan R een verzameling W van een al dan niet begrensd aantal elementen
\( w_i \)
wordt toegevoegd; het principe blijft gelden en de notatie wordt R(
\( w_i \)
). Als in het laatste geval die uitbreiding stapsgewijs plaats vindt dan heet elke afzonderlijke stap een kwadratische lichaamsuitbreiding. R(i) is dus feitelijk een kwadratische lichaamsuitbreiding. Kwadratisch slaat op het feit dat bij zo’n enkelvoudige uitbreiding of stap alle elementen die zijn ontstaan m.b.v.
2 elementen uit R zelf, beschreven kunnen worden:
7+
3i. Dat lukt alleen maar bij zo’n eerste stap. Men kan ook herhaaldelijk (stapsgewijze) uitbreidingen doen met als resultaat: een toren van lichaamsuitbreidingen, wat eigenlijk een naam voor het uitbreidingsproces zelf is. De enige reden voor het gebruik van de procesnaam is bij mijn weten, dat men in dat geval het eindstadium niet eenduidig weet te benoemen.
Hoofdstuk 3 is leesstof met een grote kans dat er een lamp gaat branden in het duistere verblijf van de construeerbare getallen. Niet vooraf, maar pas bij de behandeling van Hoofdstuk 4 volgt er een uiteenzetting over Hoofdstuk 3. Om u de kans te geven op de verrassing die lamp te zien aangaan.
