Kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels.

[edgo]

Hoofdstuk 8 wordt geopend met een korte beschrijving van de wortels van kubieke vergelijkingen  waarvan de wortels in K liggen. Het voornaamste doel is om aan te tonen dat een notatie die voort-komt uit de aangepaste definitie van het Lichaam van de construeerbare Cöordinaten weinig afwijkt van eerdere notaties.

[edgo]

Hoofdstuk 8.2
Deze post bevat een bijlage waarin de bepalende criteria voor algemeen geldige oplossingen voor kubieke vergelijkingen met in K liggende wortels worden gezocht, samen met een omgeving waarbinnen die criteria gelden.

[edgo]

HOOFDSTUK 8.3
In de vorige post heb ik gemeld dat het in K liggende cyclische systeem een perfecte omgeving kon zijn voor het vinden van de oplossing van kubieke vergelijkingen met wortels in K, omdat alle variabelen die er toe deden in een en dezelfde parameter t uitgedrukt konden worden. Die constatering is juist gebleken maar zo’n onderlinge afstemming van de variabelen levert zelf geen nieuwe relaties op omdat het ermee rekenen in wezen cirkelredeneringen oplevert. De waarde van die afstemming is, als aan de gemeenschappelijke parameter een waarde toegekend wordt, dat alle variabelen dan gewaardeerd worden. Het probleem is vanaf dit moment dus om de waarde van de gedeelde parameter te bepalen.
De conclusie is dat er een manier bestaat om alle cyclische constanten in de gemeenschappelijke parameter t uit te drukken. Dat houdt in dat de wortels van kubieke vergelijkingen zonder dubbele wortels allemaal als functies van een t zijn te schrijven. En we moeten de waarde van die t bepalen.

[edgo]

De bij de vorige post behorende Bijlage heeft even op zich laten wachten maar komt hierbij toch.

[edgo]

HOOFDSTUK 8.5
We hebben vastgesteld dat als we de waarde van de parameter t kunnen bepalen dat dan de wortels van elke kubieke vergelijking zonder dubbele wortels bepaald zijn. Het is dan niet zozeer de vraag hoe t berekend kan worden als wel hoe die parameter in het systeem ingevoerd moet worden: t heeft binnen het huidige kader meer de status van een gegeven dan van een uitkomst. We hebben al geconstateerd dat een trisectievergelijking gekoppeld is aan een s-vergelijking en dat werpt de vraag op of  trisectievergelijkingen ook gelijkwaardige alternatieven bieden voor willekeurig gekozen kubieke vergelijkingen. 
Het centrale probleem dat nu een rol speelt is het volgende: als een klassenvergelijking gegeven is en we willen een zekere vergelijking x^3+a*x^2+b*x+c=0 in die klasse bepalen, dan geldt als a en b bekende waarden zijn dat c de oplossing van een tweedegraads vergelijking is terwijl als a en c bekend zijn dat b dan de oplossing van een derdegraads vergelijking is. Daarom kan de s-vergelijking die ligt in een bekende klasse niet bepaald worden zonder een derdegraads vergelijking in t op te lossen, terwijl de in die klasse liggende trisectievergelijking wel te vinden is. Van die trisectievergelijking is eenvoudig een in dezelfde klasse liggende s-vergelijking te maken, doch die s-vergelijking maakt dan deel uit van een of ander cyclisch systeem dat op voorhand niet bekend is. Deze tweespalt ligt dus, wel beschouwd, ten grondslag aan de oplossingsproblematiek van kubieke vergelijkingen. We hopen inmiddels over een uitgebreid arsenaal relaties te beschikken teneinde die tweespalt te lijf te gaan. Het onderscheid tussen kubieke vergelijkingen met of zonder construeerbare wortels hebben we reeds achter ons liggen: t ligt in K of t ligt niet in K is het antwoord, dat ingevuld wordt als we niet hoeven te eindigen bij een derdegraads vergelijking in t.

[edgo]

Het zoeken naar een oplossing voor kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels is geen sinecure. Het valt daarom te verwachten dat de frequentie van de posts over dat onderwerp zal afnemen. Maar ik beloof het te melden als ik totaal niet verder meer kom of verwacht te komen, dat laatste dan i.v.m. mijn leeftijd. Mijn nevendoelstelling is kennisoverdracht zolang het nog kan.
 
Waar ik nu mee bezig ben is een soort tussendoortje: als het product van de nevenfunds P(fp,gp) niet tot K behoort, dan hebben fp en gp niet dezelfde structuur. Al afgeleid was dat als fp tot K behoort dan zijn nevenfund dan ook tot K behoort, met als gevolg dat er als enige optie overblijft dat fp=P( m, IP) en gp=P(IP, n) met m en n elementen van K. Dat is een nogal unieke toestand en die kan extra informatie opleveren. De hoofdlijn van het lopende onderzoek is en blijft voorlopig de s-vergelijking.
 
Bijgaand treft u een bijlage met aanvullende info over de afleiding van de cyclische vergelijkingen. Zo zijn er nog enkele onderwerpen die wat uitgediept moeten worden; de eerstvolgende is waarschijnlijk het in extenso gegeven afleidingstraject van de cycl. vergelijking uit een gegeven kubieke vergelijking. 

[edgo]

HOOFDSTUK 8.6
De Bijlage bevat een toelichting op de aard en functie van de alfa- en beta-IP’s. Die toelichting is nodig omdat sommige facetten ervan verregaande consequenties blijken te hebben. Het gevolg is dat er een andere kijk op hun aanwezigheid ontstaat, die althans bij mij, verhelderend werkt.

[edgo]

Bijgaand het vervolg op de post van 25 apil j.l. betreffende de afleiding van de cycl. vergelijkingen.
Het onderzoek naar de invloed van de beta-IP op paren fundamentele nevenvergelijkingen heeft een systeem, bestaande uit driemaal 3 paren fundamentele productvergelijkingen, opgeleverd dat kan worden gebruikt ter illustratie van de extreme regelmaat (tot in de wortelindices toe) die mogelijk is bij het werken met funds die in de standaard ordening staan. Die ordening maakt het mogelijk om een dergelijk schema te hanteren voor de betreffende bewerkingen bij om het even welk paar fundamentele nevenvergelijkingen. Maar of je er verder wat aan hebt is een andere zaak.
Over ordening gesproken, een soort spin-off van de ingevoerde standaardorde bij funds is dat het een-voudig mogelijk is om de wortels van een willekeurige kubieke vergelijking per wortel afzonderlijk te volgen bij processen waarbij die wortels zijn betrokken. Het vaststellen van de relatie tussen iedere wortel en “zijn” fund staat gelijk aan het definitief en altijd op dezelfde manier ordenen van die wortels. Het werkt uitzonderlijk goed en kan goed van pas komen.

[edgo]

HOOFDSTUK 8.4.2
In de bijlage van deze post worden een aantal functies en relaties afgeleid waarbij de parameter t betrokken is. We blijken die parameter ook als fund tegen te kunnen komen.
 
Er worden ditmaal veel afleidingen gegeven, soms met flinke stappen ertussen om het leesbaar te houden. Het gaat om de conclusies.
 
De parameter t heeft de beslissende rol gespeeld bij het tot stand brengen van de verbinding tussen de twee subsystemen; het heeft een hele tijd geduurd voor dat het lukte. Het is nog volstrekt onduidelijk wat de achterliggende oorzaak is dat t op die plek en in die vorm opduikt.

[edgo]

HOOFDSTUK 8.6.1
Op 6 mei jl. werd Hoofdstuk 8.6 gepost. Het betrof de oorsprong en functie van de Interne Parameters. In die bijdrage werd een geconstateerd conflict behandeld tussen enerzijds de stelling dat nevenfunds altijd of beide in K liggen of anders geen van beide tot K behoren; anderzijds werd aangetoond dat via een alfa-transformatie de onjuistheid van die stelling bewezen kon worden. Het conflict werd van zijn actualiteit ontdaan door een context te kiezen waarbij het conflict niet zou spelen. Deze gedachtegang is ronduit fout: als je bewijst dat eigenschap A geldt en ook kunt bewijzen dat A niet geldt, dan is A een weerlegde hypothese.
Het geleverde bewijs voor A is waar berust op een onjuist gebruik van een bekende rekenregel. Er werd gesteld dat als fp + gp in K en ook fp - gp in K dan fp en gp beide in K. Welbeschouwd is die bewering op die plaats een stelling die eerst bewezen zal moeten worden omdat hij uiterst context-gevoelig is: indien a+b is even en tevens a-b is even dan a en b beide even geldt wel voor 2 even getallen en niet voor 2 oneven getallen.
Het niet-gelden van de in de post gebruikte stelling heeft een reden die het onderzoeken waard is.

[edgo]

HOOFDSTUK 5.1
In verband met het wegvallen van de stelling dat nevenfunds beide, of anders geen van beide, tot K behoren was het nodig de afleiding van de definitie van K aan te passen. De definitie zelf is in zoverre ongewijzigd gebleven dat alleen de alternatieve notatie is weggelaten en dat dan uitsluitend op grond van de opmerking over die notatie in Hoofdstuk 5. Al met al lijkt het me dat het verhaal rond de definitie van K aan eenvoud heeft gewonnen.
 
In Hoofdstuk 4 is het bewijs voor de omstreden stelling over nevenfunds opgenomen. Het verwijderen van die stelling is nog niet aan de orde omdat de fout in de achterliggende redenering nog niet hard te maken is. Zo ergens de eigenschap van IP’s om onwaarneembaar te zijn problematisch is, dan is het hier wel.

[edgo]

Hoofdstuk 5.2
Bijgaand een bijlage met een voorbeeld van de cijfermatige uitwerking van paren nevenfunds en hun toegevoegde nevenfunds. Het is daarmee ook het geëigende moment om een voorbeeld van de uitwerking van de definitie van de verzameling K van de construeerbare coördinaten te geven. Die definitie heeft dan “handen en voeten” gekregen.

Ook aanbevolen is de laatste alinea van de bijlage. Daar wordt de vergelijking geïntroduceerd die de parameters t als wortels heeft. De klassenvergelijking van die V(t)=0 blijkt de vergelijking te zijn waarvan de wortels gelijk zijn aan de producten P(gp,fp) = -P(fp,gp). Daarmee wordt de parameter t rechtstreeks in verband gebracht met het negatieve teken bij de producten van nevenfunds. Zoals eerder werd opgemerkt zijn de producten van nevenfunds, afhankelijk van hun teken, niet altijd in K uit te drukken. De ooit gevonden V6=0 had als funds de producten P(fp,gp) met een positief teken. Nu wordt de vergelijking V(t)=0 gevonden die de link legt met de, op grond van de betekenis ervan onvermijdelijke, alternatieve aanwezigheid van een negatief teken bij die producten. De cirkel naar de eventuele aanwezigheid van IP’s in fundproducten is daarmee rond.

Dit is de laatste post. Begonnen werd met het verzoek om doorverwijzing naar een bron voor de elementaire eigenschappen van kubieke vergelijkingen met construeerbare wortels. Geen resultaat. De huidige toestand is dat we inmiddels in staat zijn de nodige pagina’s vol zinnige berekeningen betreffende die construeerbare getallen te produceren, mede omdat die getallen binnen dat kader definieerbaar bleken te zijn. Dat kader vormt daarmee een m.i. geldige theorie. De oplossing van kubieke vergelijkingen in het algemeen behoort niet direct tot dat kader, al zal het er wel aan bijdragen. Het zoeken naar die oplossing is voor wat mij betreft dan ook nog niet afgelopen.

Deze posts zijn in die zin uniek dat zij wel veel gelezen werden, maar reactieloos zijn gebleven. Geen probleem. Omdat sinds de update van de forumsoftware het turven van de lezers is vervallen kan het nu echter even goed zo zijn dat er vele, maar ook dat er hooguit nog maar enkele actuele volgers zijn. Dat is bij dit type posts nu niet meer te constateren en het is niet direct motiverend om dan te blijven schrijven. Er is inmiddels al wel een op hoofdpunten afgerond en bovendien door-en-door consistent stuk kennis overgedragen. Dat was het voornaamste doel van deze exercitie. Het turven van de lezers speelde ten aanzien van dat aspect een voorname rol.

Ik hoop dat er nog lezers zijn die het toegankelijke en vooral ook leuke wiskunde vinden en die de draad daarom ook oppakken. Het is fascinerend puzzelwerk.

[edgo]

De bijlage is per abuis van een restant van aantekeningen voorzien, bedoeld was een bijlage van precies 2 pagina's. Een blik in de keuken dus, alsmede toch nog een extra post. Sorry!