[wiskunde] Taylorreeks

[Annelies687]

Beste,
 
Ik snap niet goed waarom de convergentie reeks 0 is, want als ik het principe van d' Alembert toepas dan kom ik (oneindig.X) uit, hoe kan je hieruit dan afleiden dat het 0 zou moeten zijn?
 
Alvast bedankt 
 

Bepaal het convergentiegebied van de volgende Taylorreeksen:
 

 

[Xilvo]

Kun je de complete originele opgave laten zien? Dit ziet er niet uit als een Taylorreeks.

[Annelies687]

Kun je de complete originele opgave laten zien? Dit ziet er niet uit als een Taylorreeks.

 tuurlijk 

[Xilvo]

Het gaat blijkbaar om reeks nummer vier. 
 
Bedoel je met
 

Ik snap niet goed waarom de convergentie reeks 0 is, want als ik het principe van d' Alembert toepas dan kom ik (oneindig.X) uit, hoe kan je hieruit dan afleiden dat het 0 zou moeten zijn?

dat de reeks alleen convergeert voor x=0?
 
Voor andere waardes convergeert hij niet.

[tempelier]

Het gaat blijkbaar om reeks nummer vier. 
 
Bedoel je met
 
dat de reeks alleen convergeert voor x=0?
 
Voor andere waardes convergeert hij niet.

Ik denk dat daar toch wel een klein bewijs bij hoort.

[Xilvo]

Met d'Alembert.
 
Maar dat hoef ik niet voor te doen, als ik het goed begrijp heeft Annelies687 die methode zelf al gebruikt.

[Annelies687]

Het model antwoord is (Convergentiegebied: {0}) maar ik kom uit dat het divergeert 
(x onder limiet moet n zijn)

[tempelier]

Met d'Alembert.
 
Maar dat hoef ik niet voor te doen, als ik het goed begrijp heeft Annelies687 die methode zelf al gebruikt.

Ah ja.
Ik dacht iets te hebben zonder zo'n kenmerk, maar dat is mosterd na de maaltijd.
Als x=0 bestaat de eerste vorm niet.

[Xilvo]

Je komt uit dat het divergeert, meen ik te lezen? 
 
Ook voor x=0? Waarom? 

[Annelies687]

Met d'Alembert.
 
Maar dat hoef ik niet voor te doen, als ik het goed begrijp heeft Annelies687 die methode zelf al gebruikt.

 
Ja inderdaad, ik snap gewoon niet waarom het convergentiegebied 0 zou moeten zijn. Moet ja dan als je je oneindig het ingevuld x=0 doen mss? Ik ben niet meer mee...

[Xilvo]

Als x=0 dan zijn alle termen nul; dan kan de som ook alleen maar nul zijn. Voor alle andere waardes van x wint n! het altijd.

[tempelier]

 
Ja inderdaad, ik snap gewoon niet waarom het convergentiegebied 0 zou moeten zijn. Moet ja dan als je je oneindig het ingevuld x=0 doen mss? Ik ben niet meer mee...

Ik heb dat aan gegeven, maar het is automatisch verkeerd aan elkaar geplakt.
 
Het is de nul reeks dan mag het kenmerk niet worden toegepast.

[Xilvo]

Op het blaadje in #7 staat in de derde regel (x+1) waar het (n+1) moet zijn (teller tussen absoluutstrepen).
 
Of heb je dat weer in Griekse letters gecorrigeerd?

[Annelies687]

Ik heb dat aan gegeven, maar het is automatisch verkeerd aan elkaar geplakt.
 
Het is de nul reeks dan mag het kenmerk niet worden toegepast.

 

Op het blaadje in #7 staat in de derde regel (x+1) waar het (n+1) moet zijn (teller tussen absoluutstrepen).
 
Of heb je dat weer in Griekse letters gecorrigeerd?

 
Ahnja oke zo, dus omdat het de  nul reeks is mag het kenmerk niet worden toegepast.
Ja, dat was een foutje, moest inderdaad (n+1) zijn
 

Oke, heel erg bedankt Xilvo en Tempelier!

[TD]

Ahnja oke zo, dus omdat het de  nul reeks is mag het kenmerk niet worden toegepast.

 
Je mag het kenmerk wel toepassen, maar je moet dat goed doen: let op dat je x en n niet (een paar keer) verwisselt...
 
Je krijgt dus:
 

\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!\;x^{n+1}}{n!\;x^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left| (n+1)\;x}\right|\)

 
Deze limiet hangt af van x:
- als x verschillend is van 0, is de limiet oneindig (en zegt het kenmerk dus divergent);
- als x gelijk is aan 0, heb je (n+1)*0 = 0 en is de limiet, ook voor n naar oneindig, 0 (en zegt het kenmerk dus convergent).
 
Merk op dat een machtreeks nooit overal divergent kan zijn, een machtreeks convergeert steeds in het centrum.