Waaraan is f(x)dx gelijk?
- Berichten: 4.320
-
- Berichten: 17
Re: Waaraan is f(x)dx gelijk?
Als
$$g(x) = \frac{\lambda}{(\lambda x+1)^2}$$
en
$$
f_\alpha(x) = \frac{\alpha}{(x+1)^{\alpha+1}}
$$
Dan kun je als volgt f van g krijgen,
$$
f_1(x)dx = \frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{\lambda d\tilde{x}}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} = g(\tilde{x})d\tilde{x}
$$
waarbi de substitutie $$x = \lambda\tilde{x}$$ is gebruikt. Maar ik begrijp de gelijkheden niet.
$$g(x) = \frac{\lambda}{(\lambda x+1)^2}$$
en
$$
f_\alpha(x) = \frac{\alpha}{(x+1)^{\alpha+1}}
$$
Dan kun je als volgt f van g krijgen,
$$
f_1(x)dx = \frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{\lambda d\tilde{x}}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} = g(\tilde{x})d\tilde{x}
$$
waarbi de substitutie $$x = \lambda\tilde{x}$$ is gebruikt. Maar ik begrijp de gelijkheden niet.
- Berichten: 24.578
Re: Waaraan is f(x)dx gelijk?
Welke begrijp je niet? In de ketting van drie is de eerste gewoon de definitie van f gebruiken en de laatste die van g gebruiken. Voor de middelste, gebruik de gegeven substitutie \(x = \lambda\tilde{x}\) en er volgt:
omdat \(d\left(\lambda\tilde{x}\right)=\lambda d\tilde{x}\).
\(\frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{1}{(\lambda\tilde{x}+1)^2}d\left(\lambda\tilde{x}\right) = \frac{\lambda}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} d\tilde{x}\)
omdat \(d\left(\lambda\tilde{x}\right)=\lambda d\tilde{x}\).
-
- Berichten: 17
Re: Waaraan is f(x)dx gelijk?
In de ketting van de drie
$$
\frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{\lambda d\tilde{x}}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} = g(\tilde{x})d\tilde{x}
$$
begrijp ik de overgang van de eerste naar de tweede. Het is een kwestie van substitutie. In de overgang van de tweede naar de derde begrijp ik het nu ook vanwege de regel die je me gegeven hebt en die ik me niet realizeerde.
Nu zijn
$$f(x) = \frac{\alpha}{((x+1)^{\alpha+1})}$$
en
$$g(x) = \frac{\lambda}{(\lambda x+1)^2}$$
kansdichtheidsfuncties en je kunt dus f(x) krijgen door g(x) te herschalen. Nu is f(x) een speciaal geval van een Pareto verdeling, Blijft het dan ook interessant om g(x) als een aparte verdeling te beschouwen? Het is net zoiets als bij de logistische verdeling en de log-logistische verdeling. De éne is een herscahling van de ander, maar toch worden beide verdelingen als aparte verdelingen beschouwd.
$$
\frac{1}{(x+1)^2}dx = \frac{\lambda d\tilde{x}}{(\lambda \tilde{x}+1)^2} = g(\tilde{x})d\tilde{x}
$$
begrijp ik de overgang van de eerste naar de tweede. Het is een kwestie van substitutie. In de overgang van de tweede naar de derde begrijp ik het nu ook vanwege de regel die je me gegeven hebt en die ik me niet realizeerde.
Nu zijn
$$f(x) = \frac{\alpha}{((x+1)^{\alpha+1})}$$
en
$$g(x) = \frac{\lambda}{(\lambda x+1)^2}$$
kansdichtheidsfuncties en je kunt dus f(x) krijgen door g(x) te herschalen. Nu is f(x) een speciaal geval van een Pareto verdeling, Blijft het dan ook interessant om g(x) als een aparte verdeling te beschouwen? Het is net zoiets als bij de logistische verdeling en de log-logistische verdeling. De éne is een herscahling van de ander, maar toch worden beide verdelingen als aparte verdelingen beschouwd.
-
- Berichten: 17
Re: Waaraan is f(x)dx gelijk?
Dankzij uw hulp heb ik inmiddels ontdekt dat de dichtheidsfunctie
$$
\frac{\lambda}{(\lambda x + 1)^2}
$$
verkregen kan worden middels een Pareto Type II verdeling
https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution
oftewel Lomax verdeling:
https://en.wikipedia.org/wiki/Lomax_distribution
De Lomax verdeling heeft als dichtheidsfunctie
$$
\frac{\alpha}{\lambda}\frac{1}{(1+\frac{x}{\lambda})^{\alpha+1}}
$$
Voor $$\alpha = 1$$ en $$\lambda = 1$$ krijg je
$$\frac{1}{(1+x)^2}$$
en als je dan x herschaalt met $$\lambda x$$ krijg je de gevraagde verdeling.
$$
\frac{\lambda}{(\lambda x + 1)^2}
$$
verkregen kan worden middels een Pareto Type II verdeling
https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution
oftewel Lomax verdeling:
https://en.wikipedia.org/wiki/Lomax_distribution
De Lomax verdeling heeft als dichtheidsfunctie
$$
\frac{\alpha}{\lambda}\frac{1}{(1+\frac{x}{\lambda})^{\alpha+1}}
$$
Voor $$\alpha = 1$$ en $$\lambda = 1$$ krijg je
$$\frac{1}{(1+x)^2}$$
en als je dan x herschaalt met $$\lambda x$$ krijg je de gevraagde verdeling.