Berekening van volume

Moderators: dirkwb, Drieske

Berichten: 76

Berekening van volume

Hallo!!

Met onderstaand vraagstuk zit ik vast en weet ik niet hoe ik hier aan moet beginnen:


Volume via integralen:

Door het wentelen van de functie
Schermafbeelding 2019-07-19 om 19.15.09.png
Schermafbeelding 2019-07-19 om 19.15.09.png (7.94 KiB) 1586 keer bekeken
tussen 0 en r rond de x-as ontstaat er een omwentelingsvolume.

Wat is het volume in m^3 als de eenheid van de assen wordt uitgedrukt in meter? Het omwentelingsvolume kan men berekenen met de integraal:
Schermafbeelding 2019-07-19 om 19.16.43.png
Schermafbeelding 2019-07-19 om 19.16.43.png (8.35 KiB) 1586 keer bekeken

Volgende (beginnende) stelling heb ik gevonden maar weet niet of dit correct is:


Wanneer men een willekeurige waarde neemt op de x-as (functie op de x-as tussen 0 en 3), projecteert men op de y-as met de functie sin(3-x) en -sin(3-x). Ik denk dat dit de grenzen van de integraal zijn (maar weet niet of dit correct is).
Schermafbeelding 2019-07-19 om 19.23.47.png
Alvast enorm bedankt voor de moeite!!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.265

Re: Berekening van volume

Het omwentelingsvolume kan men berekenen met de integraal ∫rf²(x)dx
Dat klopt niet. De gezochte integraal ziet er uit als
\(\pi\int_0^r\left(\frac{2\sin x}{r^2}\right)^2dx=\frac{4\pi}{r^4}\int_0^r \sin^2xdx\)
Maak vervolgens gebruik van het feit dat sin²x = ½-½cos 2x om de integraal uit te werken.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 76

Re: Berekening van volume

Hoi mathfreak!!

Bedankt voor het snelle antwoord!! In de opgave staat immers de integraal
Schermafbeelding 2019-07-20 om 15.55.46.png
Schermafbeelding 2019-07-20 om 15.55.46.png (8.28 KiB) 1396 keer bekeken
het verloop van deze functie heb ik zelf gevonden. Kan het zijn dat het (zelf gevonden) verloop op de grafiek niet correct is i.p.v. de integraal?

Alvast enorm bedankt!!

Berichten: 76

Re: Berekening van volume

Zou iemand mij hierbij kunnen helpen? :D

Gebruikersavatar
Berichten: 1.607

Re: Berekening van volume

Er is niets fout aan wat mathfreak schrijft. Maar misschien begrijpt hij het vraagstuk niet zoals het bedoeld is - ik vind het in ieder geval erg onduidelijk.

Loopt x nu van 0 tot r, of niet? Ik vind het vreemd dat het interval op de x-as als waarde voorkomt in de functie.

Kun je misschien het originele vraagstuk plaatsen?

Berichten: 76

Re: Berekening van volume

Hallo!!

Het is inderdaad wat verwarend, mijn excuses hiervoor. Hierondonder heb ik alvast het oorspronkelijke vraagstuk gezet:

Door het wentelen van de functie
Schermafbeelding 2019-07-19 om 19.15.09.png
Schermafbeelding 2019-07-19 om 19.15.09.png (7.94 KiB) 971 keer bekeken
tussen 0 en r rond de x-as ontstaat er een omwentelingsvolume.

Wat is het volume in m^3 als de eenheid van de assen wordt uitgedrukt in meter?

TIP: Het omwentelingsvolume kan men berekenen met de integraal:
Schermafbeelding 2019-07-19 om 19.16.43.png
Schermafbeelding 2019-07-19 om 19.16.43.png (8.35 KiB) 971 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 1.607

Re: Berekening van volume

Kun je een kopie plaatsen? Weet je zeker dat die 'r' na het integraalteken niet 'π' is?

Berichten: 76

Re: Berekening van volume

Mijn excuses!! Het is inderdaad π. Had dit verkeerd ingezien.

Als men nu met π werkt, hoe berekent men het volume dan? : )


Gebruikersavatar
Berichten: 1.607

Re: Berekening van volume

Zoals mathfreak aangeeft. Hij heeft π al voor het integraalteken gezet, omdat dit een constante is.

Je hebt een functie f(x). Bij een zekere x is de functiewaarde f(x).
Vervolgens wentel je die om de x-as. Dan heb je een schijf met oppervlak π.straal2= π.f(x)2
Vervolgens geef je die schijf een dikte dx. Het volume wordt π.f(x)2.dx.

Integreren hiervan geeft het totale volume.

Berichten: 76

Re: Berekening van volume

Alvast enorm bedankt Xilvo en mathfreak, deze uitleg heeft me al heel wat geholpen.
mathfreak schreef:
vr 19 jul 2019, 21:42
De gezochte integraal ziet er uit als
\(\pi\int_0^r\left(\frac{2\sin x}{r^2}\right)^2dx=\frac{4\pi}{r^4}\int_0^r \sin^2xdx\)
. Maak vervolgens gebruik van het feit dat sin²x = ½-½cos 2x om de integraal uit te werken.
Dit snap ik, maar hoe vindt je de integratiegrenzen (effectieve getallen) waardoor je een volume (een getal) uitkomt?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.587

Re: Berekening van volume

Daarvoor moet r bekend zijn, dat lijkt me niet het geval als ik het lees.
Dus blijft de r in het antwoord staan.

PS.
In de geschetste grafiek is aangenomen dat r=2 , dus kun je het bepalen voor dat speciale geval.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.607

Re: Berekening van volume

Tenzij die 'r' in de integratiegrens óók weer π is.

Onlangs liep hier iemand verongelijkt weg toen 'm om een scan van het originele vraagstuk werd gevraagd.
Maar je ziet hoe snel zaken verkeerd gelezen of geïnterpreteerd worden.

Dus ook hier, graag een foto of scan van de opgave.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.587

Re: Berekening van volume

Ik lees hier toch uit dat er van 0 naar r moet worden geïntegreerd.
tussen 0 en r rond de x-as ontstaat er een omwentelingsvolume.
Maar misschien is het wat ongelukkig geformuleerd en wordt er wat anders bedoeld.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.265

Re: Berekening van volume

Als ik de plot bekijk staat er "assuming that r = 2" bij, maar mogelijk is dit gewoon een willekeurig gekozen waarde om een idee van het verloop van de grafiek bij een gegeven r te krijgen. Merk op dat de uitwerking van de integraal een term sin 2r geeft die voor r = ¼⋅π de maximale waarde 1 heeft. Misschien is het de bedoeling om na het opstellen van de uitdrukking voor de integraal het volume te vinden waarvoor sin 2r maximaal is, maar dan zouden we eigenlijk ook de rest van de opgave te zien moeten krijgen.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 76

Re: Berekening van volume

Hartelijk dank voor de hulp!!
mathfreak schreef:
di 23 jul 2019, 09:49
Merk op dat de uitwerking van de integraal een term sin 2r geeft die voor r = ¼⋅π de maximale waarde 1 heeft. Misschien is het de bedoeling om na het opstellen van de uitdrukking voor de integraal het volume te vinden waarvoor sin 2r maximaal is, maar dan zouden we eigenlijk ook de rest van de opgave te zien moeten krijgen.
In de opgave staat niets beschreven over het feit dat men het volume moet zoeken wanneer sin 2r maximaal is. Maar ik vermoed dit wel. Wanneer dit het geval is en ik de integraal uitreken met een straal r= ¼⋅π dan kom ik volgende integraal uit:
Schermafbeelding 2019-07-23 om 10.30.32.png
Schermafbeelding 2019-07-23 om 10.30.32.png (10.04 KiB) 795 keer bekeken
Wanneer uitgerekend, kom ik op een waarde van 4,71 dat het volume zou moeten zijn

Reageer