Extreme waarden / rand extreme

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Berichten: 5

Extreme waarden / rand extreme

Stel functie x/(x²-2x+4) op [0,4]
Dan zou ik denken, de extreme waarden zijn f(0) = 0 als minimum (absoluut max/randextreme)
f(2)=1/2 als maximum (absoluut / lokaal)

Maar nu mijn vraag: waar x=4 zit hier wel of geen extreme? Die aan de rand bij x=0 denk ik van wel, dit is immers absolute minimum. Maar x=4 is dit niet.

Ik begrijp lokale en absolute min/max, maar niet dat een randextreme een min/max kan zijn als deze niet absoluut is.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Extreme waarden / rand extreme

Wat is de definitie van lokaal extremum die je gebruikt?

Berichten: 5

Re: Extreme waarden / rand extreme

f(a) is lokaal maximum als f(a)≥f(x) als x is in de buurt van a. Analoog voor minimum.

Dus kan volgens mij nooit op een rand zijn; neem een interval [c,d], daar kunnen f(c) en f(d) nooit een lokaal extremum zijn. “In de buurt van” dus voor én na.
Evt een absolute extremum maar dat alleen indien het hoogste/laagste waarde van hele interval is.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Extreme waarden / rand extreme

Vinnio schreef:
wo 14 aug 2019, 11:07
f(a) is lokaal maximum als f(a)≥f(x) als x is in de buurt van a. Analoog voor minimum.

Dus kan volgens mij nooit op een rand zijn; neem een interval [c,d], daar kunnen f(c) en f(d) nooit een lokaal extremum zijn. “In de buurt van” dus voor én na.
Het blijft een beetje vaag zo, met die definitie. Als de definitie eist dat f(a) niet onder f(x) komt in een zeker open interval rond a, dan moet a een inwendig punt zijn. Maar gewoonlijk wordt gekeken naar alle f(x) in een zeker open interval rond a én behorend tot het domein (met andere woorden: de doorsnede van het domein met dat interval) en dan is er geen probleem en is er wél een lokaal extremum.

Het is dus een kwestie van definitie. Mijn voorkeur gaat uit naar de tweede variant waarbij het wél een lokaal extremum is; het is immers de grootste/kleinste functiewaarde in de buurt, tenminste waar de functie gedefinieerd is. Bijkomend blijft zo behouden wat ook geldt voor inwendige punten: globale/absolute extrema zijn ook steeds lokale, maar (uiteraard) niet per se omgekeerd. Anders zou je de (in mijn ogen) vreemde situatie hebben dat er in jouw voorbeeld in 0 wel een absoluut, maar geen lokaal extremum is.

Berichten: 5

Re: Extreme waarden / rand extreme

Als ander voorbeeld heb ik
f(x)= + 18x² op [-2,4]

Als extreme waarden staan hier:
f(-2) abs max (geen lok max is want het zit op een rand)
f(0) lok min
f(1) lok max
f(3) lok en abs min
f(4): geen lokale of absolute extreme maximum

(even zonder y waarden voor leesbaarheid)

Ik bedoel specifiek de voorbeelden met een gesloten interval, en dan de randpunten.
Terwijl soms deze wél als antwoord worden gegeven bij de vraag “geef extreme waarden”. Als ik niet hoef te benoemen of dit absolute / lokale zijn, en het niet een absolute extremum is, dan nog staat deze er wel tussen als antwoord.

Is een randextreme iets anders dan een extreme waarde? Oftewel, zijn een f(a) en f(b) standaard een randextreme simpelweg omdat het gaat om gesloten interval [a,b], of dit nu absolute extrema zijn of niet?

Ik heb het idee dat ik van iets heel eenvoudigs iets ingewikkelds zit te maken, maar wil graag precies weten hoe het in elkaar zit.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Extreme waarden / rand extreme

Vinnio schreef:
wo 14 aug 2019, 11:52
Terwijl soms deze wél als antwoord worden gegeven bij de vraag “geef extreme waarden”. Als ik niet hoef te benoemen of dit absolute / lokale zijn, en het niet een absolute extremum is, dan nog staat deze er wel tussen als antwoord.
Tja, dat is erg vreemd en verwarrend en zeker niet consequent. Of hebben jullie nog een aparte definitie van extremum, zonder aanduiding van lokaal/absoluut? ;) Dat lijkt me onhandig.

Bij de inwendige punten is er geen verwarring mogelijk: absoluut is sowieso ook lokaal, maar natuurlijk niet altijd omgekeerd. Op de rand zijn er twee mogelijkheden:
- ofwel kunnen randpunten géén lokale extrema zijn (open interval rond punt nodig);
- ofwel kunnen randpunten (ook) lokale extrema zijn.

Dat is een keuze, een kwestie van definitie. Uit jouw voorbeelden leid ik af dat je cursus/docent de eerste variant hanteert.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.574

Re: Extreme waarden / rand extreme

Vinnio schreef:
wo 14 aug 2019, 11:07
f(a) is lokaal maximum als f(a)≥f(x) als x is in de buurt van a. Analoog voor minimum.

Dus kan volgens mij nooit op een rand zijn; neem een interval [c,d], daar kunnen f(c) en f(d) nooit een lokaal extremum zijn. “In de buurt van” dus voor én na.
Evt een absolute extremum maar dat alleen indien het hoogste/laagste waarde van hele interval is.
De definitie is niet correct denk ik.

Neem f(x)=1 , dan is elke punt van f een maximum en een minimum.
Buurt is geen goed wiskundig woord.
Leg eerst vast:
omgeving , linkeromgeving , rechteromgeving van een punt.

Je kunt dan onderscheid maken tussen punten die een omgeving of slechts een rechter/linker omgeving hebben.

Berichten: 5

Re: Extreme waarden / rand extreme

tempelier schreef:
do 15 aug 2019, 11:00
Vinnio schreef:
wo 14 aug 2019, 11:07
f(a) is lokaal maximum als f(a)≥f(x) als x is in de buurt van a. Analoog voor minimum.

Dus kan volgens mij nooit op een rand zijn; neem een interval [c,d], daar kunnen f(c) en f(d) nooit een lokaal extremum zijn. “In de buurt van” dus voor én na.
Evt een absolute extremum maar dat alleen indien het hoogste/laagste waarde van hele interval is.
De definitie is niet correct denk ik.

Neem f(x)=1 , dan is elke punt van f een maximum en een minimum.
Buurt is geen goed wiskundig woord.
Leg eerst vast:
omgeving , linkeromgeving , rechteromgeving van een punt.

Je kunt dan onderscheid maken tussen punten die een omgeving of slechts een rechter/linker omgeving hebben.
“In de buurt” wordt verder nog omschreven als:
Als iets waar is “in de buurt van” a, betekent dit dat het waar is voor een open interval (c,d) met a∈(c,d).
Wil je ook naar mijn voorbeeld kijken? Er staat nl in mijn boeken vermeld, dat f(4) geen extremum is, want deze is geen absolute extremum, en aangezien het een randwaarde is (nl gesloten interval [-2,4] ) is deze geen lokale extremum “want het zit op een randpunt”)

Ik begrijp het inderdaad van de inwendige punten, maar dit stukje over de randpunten vid ik erg verwarrend; dat er blijkbaar 2 varianten bestaan, afhankelijk van welk boek / docent.

Wat is wat jullie betreft gangbaarder? Dat f(4) uit mijn voorbeeld wel een extreme waarde zou zijn, nl een lokaal maximum? Oftewel; dat randpunten wél lokale extrema kunnen zijn?


Gebruikersavatar
Berichten: 1.530

Re: Extreme waarden / rand extreme

Ik heb dit draadje al enige tijd gevolgd.
Altijd lastig als er blijkbaar verschillende definities gehanteerd worden.

Dit Wikipedia artikel:
https://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima
vindt een randextreem alleen een extreem als het een absoluut extreem is (zie plaatje rechtsboven).

Hier gebeurt hetzelfde maar wordt wel gezegd dat die definitie uitgebreid of opgerekt kan worden.

https://education.ti.com/html/t3_free_c ... sson1.html
" Endpoints as Local Extrema
The definition of local extrema given above restricts the input value to an interior point of the domain. The definition can be extended to include endpoints of intervals. "

Ik zou er voor kiezen die laatste definitie te hanteren maar dat is natuurlijk slechts een persoonlijke opvatting.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Extreme waarden / rand extreme

tempelier schreef:
do 15 aug 2019, 11:00
Vinnio schreef:
wo 14 aug 2019, 11:07
f(a) is lokaal maximum als f(a)≥f(x) als x is in de buurt van a. Analoog voor minimum.

Dus kan volgens mij nooit op een rand zijn; neem een interval [c,d], daar kunnen f(c) en f(d) nooit een lokaal extremum zijn. “In de buurt van” dus voor én na.
Evt een absolute extremum maar dat alleen indien het hoogste/laagste waarde van hele interval is.
De definitie is niet correct denk ik.

Neem f(x)=1 , dan is elke punt van f een maximum en een minimum.
Dat is nochtans de gangbare definitie (met niet-strikte ongelijkheden) en ja, een constante functie bereikt dan overal zijn minimale en maximale waarde.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Extreme waarden / rand extreme

Vinnio schreef:
do 15 aug 2019, 11:21
Ik begrijp het inderdaad van de inwendige punten, maar dit stukje over de randpunten vid ik erg verwarrend; dat er blijkbaar 2 varianten bestaan, afhankelijk van welk boek / docent.

Wat is wat jullie betreft gangbaarder? Dat f(4) uit mijn voorbeeld wel een extreme waarde zou zijn, nl een lokaal maximum? Oftewel; dat randpunten wél lokale extrema kunnen zijn?
Wat gangbaar(der) is kan je uit interesse wel proberen na te gaan, maar het is vooral belangrijk dat je op je examen de gehanteerde definitie begrijpt en gebruikt ;). Wat ik verkies, gaf ik eerder al aan.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.574

Re: Extreme waarden / rand extreme

Ook ik vind de zaak wat verwarrend.

In de tijd dat ik deze stof leerde zo'n 55jaar geleden waren er:
lokale extremen (waarbij dit best randpunten mochten zijn) en het absolute (minimum / maximum) extreem.
Bij de laatste was men het ook niet geheel eens als het er meer waren. (zoals bij de sinus)

Kennelijk vonden sommigen het nodig om de definitie voor de randen aan te passen.
(De rede is me niet duidelijk)

Het resultaat is nu dat volgens de ene definitie iets een lokaal maximum/minimum is en volgens de oudere niet.

====================

Als we de opgave bekijken dan geeft dat:
f is continue.

De linker randwaarde (0,0) , een absoluut maximum voor (2 , 1/2) , de rechter randwaarde (4 , 1/3)

Tot hier zijn de oude definities en nieuwe het wel eens.

Volgens de oude en nieuwe definitie is (0,0) een absoluut Minimum.

Volgens de oude definitie is (4 , 1/3) een rand extreem en een lokaal minimum.
Volgens de nieuwe definitie is dat kennelijk niet zo.

PS.
Vraag me af hoe ze met geïsoleerde punten omgaan. (die hoeven niet eens een omgeving te hebben)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Extreme waarden / rand extreme

tempelier schreef:
do 15 aug 2019, 12:32
Bij de laatste was men het ook niet geheel eens als het er meer waren. (zoals bij de sinus)
Het extremum (maximum/minimum) is de functiewaarde, niet het argument (of argumenten) waar dat bereikt wordt. Als een functie een absoluut extremum heeft, is het uniek. Het maximum van de sinus is 1, dat die waarde in meerdere (oneindig veel) punten bereikt wordt, verandert daar toch niets aan? Tenzij je definitie een beperking oplegt op de argumenten, dat lijkt me vreemd.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.574

Re: Extreme waarden / rand extreme

Ik ben het met je eens TD.
Maar sommigen zien/zagen het absoluut nu eenmaal als uniek.

Ik meldde slechts dat er ook toen wat verschil van mening was.

======
Waar ik het ook mee eens ben is dat de vragensteller Vinnio de regels moet gebruiken zoals die daarover zijn vastgelegd. (dat moet trouwens altijd het uitgangspunt zijn)
Dat had ik ten overvloedde moeten vermelden, dus bij deze.

Reageer