Een fotonruststelsel m.b.v. infinitesimalen?

[Professor Puntje]

Is er nu ook een rustmassa m_f van het foton uit te rekenen zodanig dat uitgaande van de eerder gevonden viersnelheid U van het foton geldt dat:

\(\)

\( \mathbf{P} \simeq \mathrm{m}_f \cdot \mathbf{U} \)

[Professor Puntje]

Ja - dat gaat. De benodigde "rustmassa" m_f vinden we via de volgende naïeve heuristische redenering. De energie van een foton is h ν . En volgens onze hypothese bewegen fotonen in het CMB-frame met een snelheid u = u¹ = (1 - ξ).c (met ξ een positieve infinitesimaal). Dus:

\(\)

\( \mathrm{h} \nu = \gamma \, \mathrm{m}_f \, c^2 \)

\(\)

\( \mathrm{m}_f = \frac{\mathrm{h} \nu}{ \gamma c^2} \)

\(\)

Waarbij voor de bepaling van \( \gamma \) de snelheid u = u¹ = (1 - ξ).c genomen is.

Met deze heuristisch gevonden ansatz voor m_f vinden we:

\(\)

\( \mathrm{m}_f \cdot \mathbf{U} = \frac{\mathrm{h} \nu}{ \gamma c^2} \cdot \gamma \, c \cdot \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 - \xi \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)

\(\)

\( \mathrm{m}_f \cdot \mathbf{U} = \frac{\mathrm{h} \nu}{c} \cdot \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 1 - \xi \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)

\(\)

\( \mathrm{m}_f \cdot \mathbf{U} = \left ( \begin{array}{c} \frac{\mathrm{h} \nu}{c} \\ \frac{\mathrm{h} \nu}{c} \cdot (1 - \xi) \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)

\(\)

\( \mathrm{m}_f \cdot \mathbf{U} \, \simeq \, \mathbf{P} \)

\(\)

Ponderabele deeltjes en fotonen kunnen wat dit betreft dus op dezelfde voet worden behandeld.

[Xilvo]

Bijna de lichtsnelheid kan tot iedere andere snelheid teruggebracht worden door keuze van een ander inertiaalstelsel.
Helemaal de lichtsnelheid niet.

Dat is een essentieel verschil waar je m.i. veel te makkelijk overheen stapt.

[Professor Puntje]

Laat maar eens zien hoe je dat doet dan. Let wel, het verschil met de lichtsnelheid is infinitesimaal! Je zal dan ook moeten aantonen dat een ponderabele waarnemer met een eindige hoeveelheid beschikbare energie tot een snelheid van (1 - ξ).c kan versnellen. Het kijkt me sterk dat dit mogelijk is, maar ik heb dat zelf nog niet nagerekend, dus wie weet heb je gelijk. Laat maar zien.

[Xilvo]

Wat kan of moet ik laten zien? Bijna c is niet c, bijna nul is niet nul.
Infinitesimaal is een woord, geen getal, Daar kun je m.i. niet mee rekenen.

[Professor Puntje]

Dan heb je dit topic niet goed gevolgd. Ik heb hier eerder al links geplaatst naar een lijstje met getallensystemen met infinitesimalen (staat op Wikipedia) en zelfs naar een online calculator voor oneindig grote en oneindig kleine getallen. Die dingen bestaan al lang en daar kun je uitstekend mee rekenen.

[Marko]

Je kunt er prima mee rekenen maar fysisch betekent het niets.

[Professor Puntje]

Kan een ponderabele waarnemer w (met rustmassa m_w) dusdanig versnellen dat hij kan meebewegen met een foton met snelheid u = (1 - ξ).c ? De kinetische energie KE die w daarvoor nodig heeft is:

\(\)

\( KE = \mathrm{m}_w \, c^ 2 \cdot (\gamma - 1) \)

\(\)

Voor de bijbehorende \( \gamma \) vinden we:

\(\)

\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{u}{c})^2}} \)

\(\)

\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - \xi)^2}} \)

\(\)

\( \gamma^2 = \frac{1}{1 - (1 - \xi)^2} \)

\(\)

\( \gamma^2 = \frac{1}{1 - (1 - 2 \xi + \xi^2)} \)

\(\)

\( \gamma^2 = \frac{1}{2 \xi - \xi^2} \)

\(\)

\( \gamma^2 = \frac{1}{\xi \cdot (2 - \xi)} \)

\(\)

\( \gamma^2 = \frac{1}{\xi} \cdot \frac{1}{2 - \xi} \)

\(\)

Aangezien \( \frac{1}{\xi} \) oneindig groot is en \( \frac{1}{2 - \xi} \) eindig is, moet ook \( \gamma^2 \) oneindig groot zijn. Dus zijn ook \( \gamma \) en \( \gamma - 1 \) oneindig groot. Bijgevolg zal geen enkele ponderabele waarnemer voldoende kunnen versnellen om een foton dat met een snelheid van (1 - ξ).c beweegt bij te houden, want dat zou oneindig veel energie vereisen. In de referentiestelsels van de met snelheid (1 - ξ).c voort snellende fotonen bevinden zich dan ook geen (ponderabele) waarnemers.

[flappelap]

http://137.158.44.70/~peter/Peter_Dunsb ... apter2.pdf

Blz. 23.

Ok, de eigentijd is inderdaad niet gedefinieerd voor fotonen. Je kunt wel een raakvector definiëren met een affiene parameter.

[flappelap]

Wat kan of moet ik laten zien? Bijna c is niet c, bijna nul is niet nul.
Infinitesimaal is een woord, geen getal, Daar kun je m.i. niet mee rekenen.

Inderdaad: wat is het verschil tussen 2 observabelen als deze infinitesimaal van elkaar verschillen?

Het lijkt me zoiets als claimen dat een lengte exact wortel(2) groot is.

[Professor Puntje]

Infinitesimalen worden volop gebruikt in de natuurkunde, en vaak op slordiger wijze dan ik hier doe. Dus ik zie het probleem niet zo. En dat het verschil tussen c en (1 - ξ).c onmeetbaar klein is is een pluspunt, want daardoor valt die aangenomen snelheid netjes binnen de grenzen van wat empirische bekend is. Of mijn aanpak ook nuttig is moet nog blijken. Maar ik ben al wel gunstig verrast over het feit dat er een zinnige rustmassa van het foton uit is gerold die het mogelijk maakt de vierimpuls van een foton op dezelfde wijze te berekenen als die van een ponderabel deeltje.

[Marko]

Nogal een gewaagde combinatie; zinnig, rustmassa en foton.

[die hanze]

Ik ben infinitesimalen in de natuurkunde nog nooit tegen gekomen. Het werd vroeger in de calculus gebruikt toen het begrip oneindig nog niet zo goed aanvaard werd. Het gebruik in de calculus is verdwenen toen men alles mooi kon uitleggen mbv limieten. Ik weet dat infinitesimalen sindsdien een comeback hebben gemaakt in de wiskunde (uitbreidingen van de reële getallen) maar ik kan me geen toepassingen ervan in de natuurkunde inbeelden.

Oude boeken over klassieke mechanica bevatten misschien nog infinitesimalen.

[Professor Puntje]

Zucht!

Op het moment ben ik het boek Exploring Black Holes aan het bestuderen. Even de zoekfunctie gebruikt, en zie daar:

In tal van andere natuurkundeboeken tref je eveneens infinitesimalen aan, en bijna altijd op een slordige manier gebruikt. Dat wil zeggen zonder wiskundige onderbouwing. Die wiskundige onderbouwing is overigens wel mogelijk met limieten en differentiaalvormen of met echte infinitesimalen zoals die van Robinson.

[die hanze]

Hoe ze infinitisimalen hier gebruiken is gewoon als snelle binnenweg om van kleine verschillen over te gaan naar differentialen. Dit kan perfect met limiet procedures maar dat duurt gewoon langer om op te schrijven.
Ze gaan er zoals je zelf zegt slordig mee om. Dit is goed te praten doordat wanneer ze in zulke tekstboeken over infinitisimalen praten het telkens over hetzelfde eenvoudige trukje gaat van een verschil omzetten in een differentiaal. Je moet niet telkens het wiel heruitvinden is de redenering.

Infinitisimalen in de wiskunde of zoals jij ze in dit topic wil gebruiken hebben wel serieuze zekenregels en er is een hele wiskundige machnierie erachter die alles doet werken. Ik heb nog nooit infinitisimalen op deze manier in de fysica aan het werk gezien.