minimize combined Area

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.554

minimize combined Area

Welke lengtes moeten uit een 12m lange draad worden geknipt voor de fabricage van onderstaande driehoek, rechthoek en cirkel opdat de gecombineerde oppervlakte minimaal is.
minimale totaaloppervlakte.png
minimale totaaloppervlakte.png (9.68 KiB) 2360 keer bekeken
Het probleem zit ’m vooral in het terugbrengen van 3 naar naar 1 variabele en het bepalen van de afgeleide van de totaaloppervlakte.

Gebruikersavatar
Berichten: 116

Re: minimize combined Area

a=b=3, r=0 geeft oppervlakte nul.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.554

Re: minimize combined Area

Mijn fout. :o De vraag moet uiteraard zijn: maximale gecombineerde oppervlakte (omdat de straal van de cirkel ook voorkomt in de rechthoek en de driehoek)

De vraag: minimale gecombineerde oppervlakte zal wel gelden voor bijvoorbeeld een gelijkzijdige driehoek met zijde a en een cirkel met straal r

Gebruikersavatar
Berichten: 669

Re: minimize combined Area

ik doe een wilde gok op diameter cirkel is 1.571220585 en a is 5.096572138

Gebruikersavatar
Berichten: 2.554

Re: minimize combined Area

Wild Guess… :) ja, het opzetten van de vergelijkingen is het probleem niet maar de uitwerking en een redelijk nauwkeurige oplossing des te meer.
maximal combined area.png

Gebruikersavatar
Berichten: 669

Re: minimize combined Area

zou ik een fout gemaakt hebben ?
Bijlagen
DSCN0072.JPG
DSCN0071.JPG

Gebruikersavatar
Berichten: 669

Re: minimize combined Area

Rik Speybrouck schreef:
za 18 jan 2020, 19:48

Gebruikersavatar
Berichten: 669

Re: minimize combined Area

ukster schreef:
za 18 jan 2020, 19:09
Wild Guess… :) ja, het opzetten van de vergelijkingen is het probleem niet maar de uitwerking en een redelijk nauwkeurige oplossing des te meer.
maximal combined area.png
sorry er zit inderdaad een fout in

Gebruikersavatar
Berichten: 2.554

Re: minimize combined Area

ik heb direct Maple ingezet met als resultaat: a=1,025117599
b=1,526688578
r=0,729467
Driehoek: omtrek 3,28m - oppervlakte 0,1869m2
Rechthoek: omtrek 4,968m - oppervlakte 1,49557m2
Halve cirkel: omtrek 3,75m - oppervlakte 0,835855m2
Totale (maximale) oppervlakte: 2,518 m2
Totale lengte: 12m

jij komt uit op a=5,09657.. en radius r=0,78561
r ligt aardig in de buurt maar a zeker niet!
Ik neem aan dat er in je uitwerking een foutje is opgetreden..
Laatst gewijzigd door ukster op za 18 jan 2020, 20:26, 1 keer totaal gewijzigd.

Gebruikersavatar
Berichten: 669

Re: minimize combined Area

ukster schreef:
za 18 jan 2020, 20:24
ik heb direct Maple ingezet met als resultaat: a=1,025117599
b=1,526688578
r=0,729467
Driehoek: omtrek 3,28m - oppervlakte 0,1869m2
Rechthoek: omtrek 4,968m - oppervlakte 1,49557m2
Halve cirkel: omtrek 3,75m - oppervlakte 0,835855m2
Totale oppervlakte: 2,518 m2
Totale lengte: 12m

jij komt uit op a=5,09657.. en radius r=0,78561
r ligt aardig in de buurt maar a zeker niet!
Ik neem aan dat er in je uitwerking een foutje is opgetreden..
ja heb het gezien bij toepassing cos regel ben ik 2 keer van d vertrokken en dat mag niet

Berichten: 160

Re: minimize combined Area

Ik kom numeriek uit op

r = 0.71302192523407868263858573812914365914323559168996
a = 1.0711226190668797754130703985331905629591961951188
b = 1.5554542239969774903107129782563782329191872185756

Opp(driehoek) = 0.33070648476566026022622156117762220421437673200838
Opp(rechthoek) = 1.5274678240176705856483240834548904464233529300928
Opp(halve cirkel) = 0.79859327016152445863807230512879883296532669663721

totale oppervlak = 2.6567675789448553045126179497613114836030563587384

Gebruikersavatar
Berichten: 2.554

Re: minimize combined Area

Maple neem ik aan? ;)

Berichten: 160

Re: minimize combined Area

@ukster:
Volgens mij is het oppervlak van de driehoek
\(\Delta = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ar \sin(120^\circ) = \frac{1}{4}ar\sqrt{3}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.554

Re: minimize combined Area

Ach natuurlijk.. belangrijk slordigheidje van mij :(

Berichten: 160

Re: minimize combined Area

Maple neem ik aan?
Nee, maar had ik beter wel kunnen doen.
Hierboven is gestuurd op precisie van het totale oppervlak als functie van r, maar die precisie wordt al bereikt met een veel kleinere nauwkeurigheid van r. In mijn vorige post is alleen het totale oppervlak volledig juist benaderd, de overige getallen zijn correct tot aan de spatie in de volgende getallen, waar ik meer vertrouwen in heb:

r = 0.7130219252340786826385857381 7101981304780630954362507038905225263
a = 1.071122619066879775413070398 41621098498844100393435743518642960815
b = 1.555454223996977490310712978 18262607203226286439955238031276616071

Opp(driehoek) = 0.3307064847656602602262215611 6092761242645662645852492666536012
Opp(rechthoek) = 1.527467824017670585648324083 37778142992122022112741848642142952
Opp(halve cirkel) = 0.798593270161524458638072305 22260244125537951115241224329110496

totale oppervlak = 2.6567675789448553045126179497613114836030563587383 55656377894604436

Uit de cosinusregel van de driehoek en de totale draadlengte volgt:
\(b^2 = a^2 + r^2 + ar = (3a + p)^2\)
waarbij
\(p = (7+\pi)r-12\)
Dit geeft:
\(8a^2 +(6p-r)a + p^2-r^2 = 0\)
Voor gegeven r kunnen we nu a en b bepalen, en daarmee hebben we totale oppervlakte als functie van r.

De afgeleide hiervan bepalen, gelijkstellen aan nul en daaruit r_max bepalen lijkt me een behoorlijk huzarenstuk.

Reageer