[overig] RC toepassing

[WannebeWiskundige]

Hallo allemaal!
Ik ben dit vraagstukje tegen gekomen en heb geen idee hoe ik hier kan aan beginnen. Zou iemand mij hier wat uitleg kunnen over geven? Dankjewel!

Veronderstel dat we een signaalkabel vereenvoudigd modelleren als een RC netwerk waarbij de waarden van R en C toenemen met de lengte. Typische waarden waarmee je mag rekenen zijn 0,555 Ohm/m en 81 pF/m. De signaalkabel dient voor digitale communicatie en verstuurt dus een sequentie van nullen en enen naar de belasting. Het signaal wordt (door de belasting) als laag (nul) geïnterpreteerd wanneer Vout < 1V en als digitale één wanneer Vout > 4v.
Veronderstel dat de kabelmaatschappij een verbinding maakt over 1,8km en men aan de ingang een (wisselend) bloksignaal aanlegt tussen 0 (digitale nul) en 5 (digitale één). Hoe groot mag dan de maximale transmissiefrequentie zijn opdat men aan de uitgang het onderscheid kan blijven maken tussen de doorgestuurde nullen en enen?

[klazon]

Theoretisch moet je de kabel verdelen in een oneindige reeks van weerstanden in de lengterichting en ene oneindig aantal condensatortjes in de dwarsrichting. Maar ik heb geen idee hoe je dat moet aanpakken.

Ik heb lang geleden berekeningen gemaakt aan elektriciteitsnetten. Daarbij paste ik een vereenvoudiging toe. De kabelweerstand werd voorgesteld door een enkele weerstand en de totale kabelcapaciteit werd verdeeld in de halve waarde aan het begin en de halve waarde aan het eind. Dat was voor de toegepaste frequenties (tot 1000Hz) nauwkeurig genoeg. Maar ik heb geen idee of dat bij digitale signaaloverdracht ook zo is.

Je zou een tussenweg kunnen kiezen, b.v. de weerstand verdelen in 10 gelijke delen en de capaciteit in 11 delen. En dan kijken wat het verschil is met de bovengenoemde vereenvoudiging.

[WannebeWiskundige]

Aangezien het over een afstand van 1,8km is en de typische waarden per meter staan, zou ik dit dan bijvoorbeeld kunnen zien als de weerstand verdeelt in 1800 gelijke delen van 0,555 Ohm en de capaciteit in 1801 delen?

[ukster]

R=999 Ohm
C=145,8nF
Theoretisch: Kritische frequentie: f=1/T = 250Hz
Praktisch i.v.m. benodigde detectietijd: fmax<250Hz

[ukster]

1/0,4ms=2500Hz

[ukster]

Bij 2500 Hz wordt hier wordt nog net onderscheid gemaakt tussen de nullen (<1V) en enen (>4V)

[Xilvo]

Zo beschouw je het als een eerste-orde systeem, maar dat is het niet.

De spanning in de kabel kun je berekenen met

\(\frac{\delta U}{\delta t}=\frac{1}{\tau}\frac{\delta^2 U}{\delta x^2}\)

met τ = 0,555 . 81E-12

Een soortgelijke formule geldt voor het opwarmen van een vlakke plaat.

Als ik het numeriek bereken, dan heb je ca 0,11 ms nodig om vanaf 0 volt in de hele kabel op een uitgangsspanning van net boven de 4 V te komen. Theoretisch iets meer dan 9000 bits/s, maar je bereikt die grenswaarde (1 of 4 V) pas helemaal aan het eind van die periode.

Verder zal de kabel ook een zelfinductie hebben. Ik vermoed dat je die niet kunt verwaarlozen.

[Xilvo]

Hier het verloop van de uitgangsspanning bij aan de ingang een blokspanning met frequentie f = 4500 Hz.

De grafiek scheelt niet eens zoveel met die van een eerste-orde systeem, althans niet bij deze frequentie.