Omhullende bollen

[efdee]

Ga uit van een verzameling identieke bollen. Rondom een bol passen precies 12 bollen. Dichtste bolstapeling.
Nu breng ik in gedachte een nieuwe laag bollen om deze 12 bollen. Hoeveel bollen bevat deze 'schil'?
Hoe gaat het verder bij verdere uitbreiding met volgende schillen met bollen?

[RedCat]

Informatie over de hexagonal close packing vind je hier:
https://en.wikipedia.org/wiki/Close-pac ... cp_lattice
Onderaan die paragraaf staat ook een formule om alle bolmiddelpunten te berekenen.
Hieronder kies ik de straal r = 3 om van de breuken af te komen.

Het kwadraat d2 van de afstand van elk middelpunt tot de oorsprong is dan (met r=3):

\(d2 = (6i+3((j+k)\; mod\; 2))^2 + 3(3j+(k \;mod\; 2))^2 + 24k^2\)

Laag k = 0:


In geel de bol met middelpunt de oorsprong,
in groen je eerste laag (r=3, afstand tot oorsprong d=2*3=6, d2 = 36).
Daarbuiten wordt het niet meer zo regelmatig:
- eerst 6 bollen op d2 = 108,
- dan 6 bollen op d2 = 144.

Als we dit ook nog uitbreiden in z-richting, dan zien we:

Laag k = 1:


Laag k = 2:



Buiten je groene schil hebben de bollen in hcp bolstapeling dus geen constante afstand meer tot de centrale bol.
De getallen d2 kunnen waarden aannemen in deze verzameling D:
D = { 0, 36, 72, 96, 108, 132, 144, 180, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 300, 324, 348, 360, 372, 384, 396, 408, 420, 432, 444, 468, 492, 516, ... }


Hier nog een plaatje met de dichtsbijzijnde bollen voor z=0 t/m z=2:

[RedCat]

Als je een hexagonale bol-uitbreiding bedoelt zoals dit:

Na 1 uitbreiding van 1 bol komen er 12 bollen bij, hier in geel laag z=0 en in groen z=1 (en gelijk voor negatieve z):


dan een uitbreiding van laag z=0 en z=1, en aanvulling met laag z=2 (lichtblauw):


dan een uitbreiding van laag z=0 t/m 2, en aanvulling met laag z=3 (donkerblauw):


Dan krijgen we deze rij waarden voor het totaal aantal bollen na n uitbreidingen:
1, 13, 57, 153, 323, 587, 967, 1483, 2157, 3009, 4061, 5333, ...

Deze rij wordt gegeven door

\(a(n) = (14n^3 + 21n^2 + 14n)/4 + 1 - (n \;mod\; 2)/4\)

[RedCat]

In het laatste geval construeren we via boluitbreidingen dus een hexagonaal bifrustum,
zie https://en.wikipedia.org/wiki/Hexagonal_bifrustum: