minimize

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Berichten: 2.557

minimize

Voor welke hoek θ is de oppervlakte van het grijze gebied minimaal.
min max probleem.png
min max probleem.png (9.79 KiB) 617 keer bekeken

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.791

Re: minimize

Zomaar een wilde gok: Als de aangroei van het oppervlak buiten de cirkel gelijk is aan de afname van het oppervlak erbinnen. Dat is, zo te zien, bij een hoek van 60 graden.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.557

Re: minimize

knap dat je dergelijk dynamisch gedrag concludeert uit zo'n (statisch) plaatje

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.791

Re: minimize

Minima zoeken is altijd zoeken naar het punt waar er geen verandering is, afgeleide nul.
Als de aangroei buiten gelijk is aan de afname binnen, dan is dat zo'n punt.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.557

Re: minimize

Maar wie zegt dat het niet bij bijvoorbeeld 59,1° of 63° is
Oke,volgende vraag :D
voor welke straal is de minimale oppervlakte 1

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.791

Re: minimize

ukster schreef:
di 28 jul 2020, 19:05
Maar wie zegt dat het niet bijvoorbeeld 59,1° of 63° is
Omdat de cosinus van 60 graden een half is, en dan zijn de de twee lijnstukken buiten (samen) en het lijnstuk binnen gelijk

Gebruikersavatar
Berichten: 2.557

Re: minimize

Ja, maar om hier nu direct de conclusie aan te hangen de er sprake is van een minimale oppervlakte gaat me toch iets te ver.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.791

Re: minimize

ukster schreef:
di 28 jul 2020, 19:16
Ja, maar om hier nu direct de conclusie aan te hangen de er sprake is van een minimale oppervlakte gaat me toch iets te ver.
Ik heb het niet nagerekend.
Ben nu met je tweede vraag bezig.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.791

Re: minimize

Oppervlak A van het grijze stuk binnen de cirkel
\(A=\frac{R^2}{2}(\theta-sin(\theta))\)
https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment
(andere θ, maar toevallig ook 60 graden=π/3)
Hoogte van de rechthoek
\(h=R.sin(60)=\frac{R}{2}\sqrt{3}\)
Oppervlak B van rechthoek
\(B=2h.R=R^2\sqrt{3}\)
Oppervlak C van witte stuk binnen cirkel:
\(C=\frac{1}{2}\pi R^2-A\)
Oppervlak D van zijstukken (rechthoek B min C)
\(D=R^2(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2})+A\)
Totale grijze oppervlak G
\(G=R^2(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2})+R^2(\theta-sin(\theta))=R^2(\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{\pi}{6})\)
Dan
\(R=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}}}\)
Nogal snel gedaan, dus garantie tot de deur ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.557

Re: minimize

Mooi, de uitdrukking nog even differentieren en nul stellen en θ=π/6 volgt hieruit
Laatst gewijzigd door ukster op di 28 jul 2020, 19:50, 1 keer totaal gewijzigd.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.791

Re: minimize

ukster schreef:
di 28 jul 2020, 19:47
Mooi, maar er is nog geen bewijs dat de minimale oppervlakte optreedt bij θ=60°
Weet ik, maar ik denk dat ik het goed heb en heb geen zin moeite te doen omdat na te rekenen.

Uiteraard, als m'n leven er van afhing zou ik het nog wel even controleren ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 116

Re: minimize

Ik kom op hetzelfde uit.
Afbeelding
Bijlagen
Screenshot_2020-07-28-19-50-21-865_com.miui.gallery.jpg

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.791

Re: minimize

Bart23 schreef:
di 28 jul 2020, 19:52
Ik kom op hetzelfde uit.
Mooi. Dat geeft hoop dat het goed is.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.557

Re: minimize

Zelf kreeg ik deze uitdrukking voor de oppervlakte:
oppervlakte.png
oppervlakte.png (3.08 KiB) 555 keer bekeken
Na differentieren en nul stellen vind ik het local minimum op θ=π/3
Er is ook nog een local maximum op θ=π/2

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 3.791

Re: minimize

ukster schreef:
di 28 jul 2020, 20:02
Na differentieren en nul stellen vind ik het local minimum op θ=π/3
Weet je het zeker? Dat is 30 graden.

Al moet je er voorzichtig mee zijn, volgens mij zie je op het oog al dat dat niet klopt, dat het oppervlak binnen de cirkel veel te groot wordt.

Reageer