(14) STELLING. Niet alle rijke pl-getallen zijn normale pl-getallen.
BEWIJS. Het volstaat een voorbeeld te geven van een rijk pl-getal dat geen normaal pl-getal is.
Laat \( (g_i)_{i=0}^{\infty} \) de volgende oneindige rij zijn: 0, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, 0, 7, 0, 8, 0, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 9, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 3, 0, 0, 1, 4,, ...
Deze rij bevat achtereenvolgens alle eindige decimale rijtjes die hier voor de duidelijkheid vet zijn gedrukt met daar tussengevoegd rijtjes nullen waarbij er steeds precies zoveel nullen zijn tussengevoegd als het direct links daarvan staande eindige decimale rijtje termen (oftewel cijfers) heeft. Het is duidelijk dat alle rijtjes w uit \( \mathbb{W} \) ergens als deelrij van de oneindige rij \( (g_i)_{i=0}^{\infty} \) voorkomen. Het pl-getal g = ...gn ... g2g1g0 is dus een rijk pl-getal.
We bekijken nu het rijtje (dat we hier 'u' noemen) bestaande uit slechts één term namelijk 0. De relatieve frequentie \( \frac{\mathrm{S}(\mathrm{g},\mathrm{u},n)}{n} \) van u wordt met ieder rijtje tussen geplaatste nullen op een waarde groter dan of gelijk aan 0,5 teruggezet. De relatieve frequentie van u kan voor n nadert naar oneindig dus niet naar \( \frac{1}{10^{|u|}} = 0,1 \) naderen, wat wel zou moeten als g een normaal getal was. Dus is g geen normaal getal. \( \Box \)