Oneindige decimale getallen?

[Professor Puntje]

(18) STELLING. Alle rijke pl-getallen zijn oneindige pl-getallen.

BEWIJS. Laat x = ...a_n...a₂a₁a₀ een rijk pl-getal zijn. Dan bevat de uit x afgeleide oneindige rij \( (a_i)_{i=0}^{\infty} \) als deelrijen onder meer de onderstaande rijtjes:
1
1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1, 1

\( \vdots \)

Dus bestaat er geen natuurlijk getal N zodat in de oneindige rij \( (a_i)_{i=0}^{\infty} \) voor indices i > N geldt dat a_i = 0. Waaruit we zien dat x = ...a_n...a₂a₁a₀ geen eindig pl-getal is, en bijgevolg dus wel een oneindig pl-getal is. \( \Box \)

[Professor Puntje]

@ OOOVincentOOO

Computerbenaderingen kunnen handig zijn waar ze uitkomsten en stellingen suggereren die dan later al dan niet netjes kunnen worden bewezen. Tot nog toe zijn de resultaten van de hier ontwikkelde theorie weinig verrassend omdat ze min of meer voor de hand lagen. Maar verderop zullen we hopelijk voor interessante verrassingen komen te staan, en dan kunnen computerbenaderingen nog goed van pas komen.

[OOOVincentOOO]

Heb je het idee van het normaliseren van getallen stelsel in beraad genomen? Dan heeft ieder getallen stelsel de zelfde verewachtings waarde?

[Professor Puntje]

Er bestaan meerdere versies van het begrip "normaal getal". Je kunt bijvoorbeeld enkel naar het voorkomen van de cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 kijken. Maar wat ik hier doe is iets anders. Hier geldt een getal alleen als normaal wanneer (simpel gezegd) alle eindige rijtjes cijfers van gelijke lengte even vaak voorkomen. Dat is een veel strengere eis want dan moeten niet alleen de cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 maar al de onderstaande rijtjes cijfers van gelijke lengte even vaak voorkomen:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
enz.

[OOOVincentOOO]

Oke, dat gaat mij te diep. Daar moet ik over nadenken. Wat is aan jouw serie dan anders? Je schrijft toch ook iedere combinatie op wat mogelijk is? Of mis ik iets?

Maar begrijp je wat ik bedoel met het normaliseren van getallen stelsels? Met het woord normaliseren bedoel ik de verwachtings waarde voor ieder stelsel op 0 stellen (zo krijg je een verzameling getallen). Het is een beetje vreemd dat je ook negatieve getallen krijgt. Zo heeft de "random walk" ontwikkeling (gemiddelde of som) de verwachtings waarde 0! Zo kun je verschillende getallen stelsel makkelijk met elkaar vergelijken. Indien een van de elementen in de genormaliseerde verzameling afwijkt dan krijg je een niet normaal getal, of? Maar deze aanpak is out of the box.

Ik zal verder niet storen zoals gezegt. Het aantal beprippen en definities is teveel ook de informatie op internet gaat boven mijn pet. Een intuitief beeld vormen krijg ik niet voorelkaar. Dat kan mijn simpele hoofd niet aan!

[Professor Puntje]

Heb je het idee van het normaliseren van getallen stelsel in beraad genomen? Dan heeft ieder getallen stelsel de zelfde verewachtings waarde?

Bedoel je hiermee dat een normaal reëel getal x geschreven in bijvoorbeeld het tweetallig getallenstelsel en het tientallige getallenstelsel na normalisering in beide gevallen 0 als verwachtingswaarde moet opleveren?

[OOOVincentOOO]

Ik had een tabelletje toegevoegd in mijn oorspronkelijke post:

Je pakt dus geen element uit de bovenste rij (0,1,2..9). Maar je neemt een element uit de genormaliseerde rij: -4.5, -3.5 ... 4.5. Zo heeft ieder stelsel dezelfde verwachtingswaarde.

Je krijgt voor het getal wat je wil vormen een "random walk/brownse beweging" men telt steeds de voorgaande getallen op (of neemt het gemiddelde maar dat is hetzelfde). De verwachting waarde is 0 maar de variantie neemt steeds verder toe (n maal Variantie van de genormaliseerde verzameling, waarbij n het n'de element in het getal is wat je construeerd).

Voor een normaal getal (hoe ik begrijp) moet de verwachting waarde op 0 liggen. Indien een (of meer) van de elementen in de genormaliseerde verzameling afwijkt dan is het getal niet normaal.

Maar dit is hoe een andere blik op normale getallen (continue en niet discreet). Maar ik wil het topic niet verder vervuilen.

[Professor Puntje]

Ik denk dat ik je bedoeling nu begrijp. Als ik het pseudoquotiënt verder uitwerk zullen dergelijke computerbenaderingen nog van pas komen. Dan kom ik erop terug.

[Professor Puntje]

(19) COROLLARIUM. Alle normale pl-getallen zijn oneindige pl-getallen.

BEWIJS. Laat x een normaal pl-getal zijn, dan is x wegens stelling 13 ook een rijk pl-getal en bijgevolg vanwege stelling 18 bovendien een oneindig pl-getal. \( \Box \)

[Professor Puntje]

Ik heb weer een samenvatting in pdf-vorm van de ontwikkelde theorie tot nog toe gemaakt (en gelijk hier en daar wat kleine verbeteringen aangebracht):

LinkseGetallen3.pdf

(185.52 KiB) 75 keer gedownload

(Mogelijk ga ik toch met een ander pseudoquotiënt werken dat meer informatie bevat. Maar daar moet ik eerst nog wat over nadenken of dat echt wel zoveel voordelen heeft.)

[Professor Puntje]

Heb al iets bedacht: ik laat gewoon definitie 3. van het panorama vervallen. Dan kan ik daar het quasiquotiënt qq(x,y) introduceren. Het pseudoquotiënt kan dan naast het quasiquotiënt gewoon gehandhaafd blijven. De nieuwe definitie (3) wordt dan:

(3) DEFINITIE. Onder het quasiquotiënt qq(x,y) van twee pl-getallen x en y verstaan we de functie van \( \mathbb{N} \) (inclusief 0) naar \( \mathbb{R} \) met het onderstaande functievoorschrift

\(\)

\( [\mathrm{qq}(x,y)](n) = \frac{x(n) + 1}{y(n) +1} \)

.

Het quasiquotiënt qq(x,y) levert dus voor alle pl-getallen x en y een gegeneraliseerd links getal.

[Professor Puntje]

Ik denk dat ik je bedoeling nu begrijp. Als ik het pseudoquotiënt verder uitwerk zullen dergelijke computerbenaderingen nog van pas komen. Dan kom ik erop terug.

Laat ...8903813 het "links oneindige getal" zijn dat je verkrijgt door de decimale representatie van 1/π naar links uit te schrijven. Waar liggen dan de onderstaande punten op de reële getallenlijn?

\(\)

\( \frac{3 + 1}{9 + 1} \, , \, \frac{13 + 1}{99 + 1} \, , \, \frac{813 + 1}{999 + 1} \, , \, \frac{3813 + 1}{9999 + 1} \, , \, \frac{03813 + 1}{99999 + 1} \, , \, \frac{903813 + 1}{999999 + 1} \, , \, ... \)

[Professor Puntje]

Wacht eens even! Dat is een flauw voorbeeld:

\(\)

\( \frac{3 + 1}{9 + 1} = 4/10 = 0,4 \)

\( \frac{13 + 1}{99 + 1} = 14/100 = 0,14 \)

\( \frac{813 + 1}{999 + 1} = 814/1000 = 0,813 \)

\( \frac{3813 + 1}{9999 + 1} = 3814/10000 = 0,3814 \)

\( \frac{03813 + 1}{99999 + 1} = 03814/100000 = 0,03814 \)

\( \frac{903813 + 1}{999999 + 1} = 903814/1000000 = 0,903814 \)

\( \vdots \)

[Professor Puntje]

Je kunt ook de decimale ontwikkeling van 1/e naar links omklappen. Voor die decimale ontwikkeling zie: https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fe

En dan kun je de locatie van de onderstaande punten op de reële getallenlijn onderzoeken:

\(\)

\( \frac{3 + 1}{3 + 1} \, , \, \frac{13 + 1}{63 + 1} \, , \, \frac{813 + 1}{763 + 1} \, , \, \frac{3813 + 1}{8763 + 1} \, , \, \frac{03813 + 1}{78763 + 1} \, , \, \frac{903813 + 1}{978763 + 1} \, , \, ... \)

[EatMe]

Uiteindelijk kan alles worden gezien als

drijvendekommagetallen (floating point arithmetics)

waarvoor geheugenposities dienen te worden gereserveerd naarmate het getal langer is.

om uiteindelijk 1/10 te kunnen berekenen hebben moderne computers sinds ongeveer 1953 daar correcte omwegen voor door een extra getal achter de komma te maken in plaats van alleen de 1 te delen.

op de wikipedia pagina over https://nl.wikipedia.org/wiki/Zwevendekommagetal ook wel drijvendekommagetal of vlottendekommagetal genoemd staat alles.