[wiskunde] Asymptoten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 175

[wiskunde] Asymptoten

g(x)= 2x + √(4x^2 -12x +5)

Deze functie kent geen asymptoten, toch? En eigenlijk heeft geen enkele irrationale functie zonder een breuk met een variabele in de noemer asymptoten?

Alvast bedankt.

Berichten: 184

Re: [wiskunde] Asymptoten

Heb je de functie g(x) getekend of geplot?
Waaraan nadert g(x) als x naar -oneindig gaat?
En waaraan als x naar +oneindig gaat?

Berichten: 175

Re: [wiskunde] Asymptoten

Heb je de functie g(x) getekend of geplot?
Ja, maar ik wil het eigenlijk zonder grafiek aantonen.

Waaraan nadert g(x) als x naar +oneindig gaat?
+oneindig

Waaraan nadert g(x) als x naar -oneindig gaat?
Ik weet eigenlijk niet hoe ik dat kan aantonen aan de hand van het voorschrift. Ik kom "-oneindig + +oneindig" uit...

Gebruikersavatar
Berichten: 2.692

Re: [wiskunde] Asymptoten

SlimmeRick schreef:
di 15 sep 2020, 13:18
Heb je de functie g(x) getekend of geplot?
Ja, maar ik wil het eigenlijk zonder grafiek aantonen.
Waaraan nadert g(x) als x naar -oneindig gaat?
Ik weet eigenlijk niet hoe ik dat kan aantonen aan de hand van het voorschrift. Ik kom "-oneindig + +oneindig" uit...
dat wordt ongetwijfeld een hele klus! :D
Als het je lukt ,petje af!

Berichten: 184

Re: [wiskunde] Asymptoten

Splits onder de wortel het kwadraat af:
\(g(x)= 2x + \sqrt{4x^2 -12x +5}\)
\(=2x + \sqrt{(2x - 3)^2 -9 + 5)} \)
\(=2x + \sqrt{(2x - 3)^2 - 4} \)
Als x naar oneindig gaat, dan wordt onder de wortel (2x-3)^2 veel groter dan -4, en kunnen we die -4 verwaarlozen:
\(\sqrt{(2x-3)^2 - 4} \approx \sqrt{(2x-3)^2}\)
Voor hele grote x nadert de wortel dus naar
\(\sqrt{(2x-3)^2}\)
Waarnaar (=naar welke functie) nadert de functie g(x) dan voor hele grote x?

En hoe zit het als x naar -oneindig gaat?

Berichten: 175

Re: [wiskunde] Asymptoten

Bedankt voor jullie antwoorden!

@RedCat Maar als x naar -oneindig gaat dan hebben we nog steeds 2*(-oneindig) + (+oneindig)?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.692

Re: [wiskunde] Asymptoten

Vul eens in x= -1000
je rekenmachine geeft + 2,999001
dus 3 is het resultaat in de limit (x→ -∞)
Je wil er vast niet aan denken deze limietwaarde te moeten berekenen met behulp van het herschrijven van de expressie en het toepassen van allerlei limietregels.

Berichten: 184

Re: [wiskunde] Asymptoten

Het kan zonder rekenmachine.
Uit mijn eerdere post volgt dat voor hele grote x de functie
\(g(x)= 2x + \sqrt{4x^2 -12x +5}\)
nadert naar
\(f(x)= 2x + \sqrt{(2x-3)^2}\)
En omdat voor een getal a > 0 geldt dat
\(\sqrt{a^2} = a\)
wordt f(x) voor x naar oneindig
\(f(x)= 2x + (2x-3) = 4x - 3\)
Dus voor x naar oneindig nadert g(x) naar de lijn
\(y = 4x-3\)

Evenzo voor x naar min oneindig, alleen is voor sterk negatieve a (dus ook a naar min oneindig):
\(\sqrt{a^2} = -a\)
Op welke asymptoot kom je dan uit?

Berichten: 175

Re: [wiskunde] Asymptoten

Ik snap het!
Ontzettend bedankt!

Reageer