Lineaire Algebra: Vind de inverteerbare matrix

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 20

Lineaire Algebra: Vind de inverteerbare matrix

Goedendag,

Ik loop vast op een vraagstuk bij lineaire algebra. Ik heb de vraag in de bijlage toegevoegd.

Ik moet van een bekende 2x2 matrix A die gelijk is aan de matrices (PCP^-1) P C en P^-1 vinden. C heeft de vorm

[a , -b ]
[b , a ]

Wat zijn de stappen die ik moet nemen?

Ontzettend bedankt!
Vraagstuk Lineair.jpg

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.463

Re: Lineaire Algebra: Vind de inverteerbare matrix

Er wordt gevraagd een inverteerbare matrix P te vinden en een matrix C, waarbij c11 = c22 = a en c12 = -c21 = -b. Matrix P heeft een soortgelijke vorm, dus p11 = p22 = q en p12 = -p21 = -r. Bepaal daarmee P-1 en bepaal aan de hand daarvan P⋅C⋅P-1. Deze matrix moet gelijk zijn aan de gegeven matrix A.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 20

Re: Lineaire Algebra: Vind de inverteerbare matrix

Dank voor de snelle reactie.

Als de matrix C een andere vorm had gehad, bijvoorbeeld: c11 = c12 en c21 = c22, zou P dan dezelfde vorm hebben?

Groet,
Stijn

Berichten: 20

Re: Lineaire Algebra: Vind de inverteerbare matrix

Daarnaast ben ik nu bezig met het oplossen zoals jij had uitgelegd, maar ik kom helaas niet verder. I

k heb van A =P*C*P^-1 --> P^-1 * A = C*P^-1 gemaakt, maar dat geeft niet echt antwoorden op de vraag.
WhatsApp Image 2021-01-12 at 10.34.19.jpeg

Berichten: 231

Re: Lineaire Algebra: Vind de inverteerbare matrix

\(A=PCP^{-1}\)
dus A en C zijn similar (= gelijksoortige) matrices, en hebben daarom dezelfde karakteristieke polynoom:
\(\text{det}(A-\lambda I_2) = \text{det}(C-\lambda I_2)\)
Bepaal die 2 polynomen, stel ze aan elkaar gelijk, en bepaal C (= kies een a en b die voldoen).

Je hebt nu een C, vervolgens moet
\(A=PCP^{-1}\)
\(\Leftrightarrow\)
\(AP=PC\)
\(\Leftrightarrow\)
\(AP - PC = 0\)
Stel
\(P=\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}\)
en bepaal uit AP - PC = 0 de algemene oplossing voor P.
Kies daaruit een P die inverteerbaar is.

Berichten: 20

Re: Lineaire Algebra: Vind de inverteerbare matrix

Ik heb flink lopen kijken op de vraag, maar kom er helaas nog steeds niet uit met jullie hulp.

Het antwoord van de vraag komt niet overeen met de uitleg van Mathfreak want P heeft daar niet dezelfde vorm als C.

Daarnaast als ik naar de uitleg van RedCat kijk kom ik uit op een vergelijking met a, b en lambda.
lin.png
lin.png (1.33 KiB) 484 keer bekeken
Hoe krijg ik hier C uit?


Mijn vraag concreet. Hoe verwerf ik P of C, want ik kan met de vergelijking AP = PC de ander oplossen.

Berichten: 231

Re: Lineaire Algebra: Vind de inverteerbare matrix

Je hebt
\(\lambda^2 + 2\lambda + 10 = (a-\lambda)^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow\)
\(\lambda^2 + 2\lambda + 10 = \lambda^2 -2a\lambda + a^2+b^2\)
Twee polynomen (hier in λ) zijn gelijk als de coefficienten van alle gelijkwaardige termen van beide polynomen gelijk zijn:
λ²: 1 = 1, dit klopt altijd
λ¹: 2 = -2a
λº: 10 = a² + b²

Kom je nu verder?

Berichten: 20

Re: Lineaire Algebra: Vind de inverteerbare matrix

Yes, top! Heel erg bedankt, het kwartje is eindelijk gevallen. Dank voor de hulp en een fijne avond. :)

Reageer