DNA van de natuurlijke getallen

[OOOVincentOOO]

Mijn mening, het is een mooi gevonden serie echter:

Ik denk echter dat de OEIS of andere lezers zullen afhaken bij het gebruik van woorden als "DNA of natural numbers".

U lijkt mij een erg creatief persoon welke zowel een goede portie rationaliteit en intuïtie heeft gevoed door creativiteit. Het is dan ook belangrijk goed in te schatten tot welk publiek U zich richt.

De OEIS is een feiten no-nonsens database. Ik denk dat erg weinig vrijheid is voor woorden als: "DNA of natural numbers". Eigenlijk ook logisch; de OEIS is als een soort woordenboek.

Sommige mensen (U niet) zijn alleen op intuïtie gericht zijn. Echter, met intuïtie alleen kom je nergens deze dient men te voeden, je moet leren en veel oefenen: schrijven, noten leren, wiskunde oefenen, schetsen maken, kleur training om echt iets te creëren met je intuitie.

Anderen zijn erg rationeel en hebben weinig of geen fantasie buiten een doosje te kijken. Men heeft een afgebakend terrein waarin men helemaal gespecialiseerd is. Zonder inbreng/feiten van buitenaf kom je nergens en blijft men in cirkels draaien.

Om daadwerkelijk iets te creëren is een goede balans nodig tussen beide. Sommigen hebben vaak niet door dat men bijvoorbeeld urenlang: sommetjes doen, schetsen maken, door microscoop kijken, miljoenen getallen moet analyseren om iets te creëren.

Uiteindelijk is het dan zaak hetgeen men geleerd/gemaakt heeft te destilleren tot de essentie dit is het kunstwerk wat men uiteindelijk presenteert.

[Math-E-Mad-X]

Human, heb je het commentaar wat je erop gekregen hebt ook nog ergens? Zonder het commentaar kunnen we alleen maar gissen naar de reden waarom het niet gepubliceerd is. Maar ik vermoed dat men deze reeks gewoon niet belangrijk genoeg vond.

[Human]

Het is al lang geleden hoor.
De OEIS maakte het mij qua Engels en inhoudelijk niet gemakkelijk.
Iemand hielp mij een tijdje maar haakte af.
Naar ik mij herinner aanvaardden ze de rij maar moest ik meer doen om het ze definitief op te doen nemen.
Levens problemen maakten het voor mij mentaal toen niet mogelijk.
Nu pas kom ik te weten dat er uiteindelijk iets foutmoet gelopen zijn.
De naam DNA heeft natuurlijk slechts een symbolische betekenis volgens de gedachte dat je als je de natuurlijke getallen volgens de selectie A/T/C/G schrijft ...... een soort DNA krijgt van de natuurlijke getallen .... meer niet.

Ik reserveerde ook het nummer A271422 voor en speciale rij ..... maar het is er helaas nooit van gekomen.

Als iemand mij zou willen hebben met alsnog de DNA -achtige rij te laten opnemen .... zou ik vandaag op mij 70 ste verjaardag heel gelukkig zijn.

[OOOVincentOOO]

Helaas ik heb geen kennis iets meer formeel te maken.

Echter Uw serie heeft mijn interesse gewekt. Hier toch misschien een cadeautje. Ik heb een iets andere aanpak gedaan:

Het aantal unieke priem factoren:
x=+1 (oneven) en x=-1 (even)

De som van de exponenten:
y=+1 (oneven) en y=-1 (even)

Vervolgens neem ik de cumulatieve sommatie cx en cy als een soort random walk.

Voorbeeld Tabel:

n x y cx cy
0 0.0 -1.0 -1.0 -1.0 -1.0
1 1.0 -1.0 -1.0 -2.0 -2.0
2 2.0 1.0 1.0 -1.0 -1.0
3 3.0 1.0 1.0 0.0 0.0
4 4.0 -1.0 1.0 -1.0 1.0
5 5.0 1.0 1.0 0.0 2.0
6 6.0 -1.0 -1.0 -1.0 1.0
7 7.0 1.0 1.0 0.0 2.0
8 8.0 1.0 1.0 1.0 3.0
9 9.0 -1.0 1.0 0.0 4.0
10 10.0 -1.0 -1.0 -1.0 3.0
11 11.0 1.0 1.0 0.0 4.0
12 12.0 1.0 -1.0 1.0 3.0
13 13.0 1.0 1.0 2.0 4.0
14 14.0 -1.0 -1.0 1.0 3.0
15 15.0 -1.0 -1.0 0.0 2.0
16 16.0 -1.0 1.0 -1.0 3.0
17 17.0 1.0 1.0 0.0 4.0
18 18.0 1.0 -1.0 1.0 3.0
19 19.0 1.0 1.0 2.0 4.0
20 20.0 1.0 -1.0 3.0 3.0
21 21.0 -1.0 -1.0 2.0 2.0
22 22.0 -1.0 -1.0 1.0 1.0
23 23.0 1.0 1.0 2.0 2.0
24 24.0 -1.0 -1.0 1.0 1.0
25 25.0 -1.0 1.0 0.0 2.0
26 26.0 -1.0 -1.0 -1.0 1.0
27 27.0 1.0 1.0 0.0 2.0
28 28.0 1.0 -1.0 1.0 1.0
29 29.0 1.0 1.0 2.0 2.0
30 30.0 1.0 1.0 3.0 3.0

Totale "random walk" tot n=1000000 (zie de totale grafiek als een lang lint).

Ingezoomed:

Het lijkt erop dat deze serie convergeerd. Erg mooie serie een heleboel vragen die bij mij opkomen. Mooi dat de serie ook steeds stappen terug gaat in de tijd.

Dit lange lint is niet zozeer speciaal iedere (pseudo)random serie kan zo gepresenteerd worden. Maar ieder zo een serie is speciaal en heeft unieke eigenschappen.

Python Code:

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt1

%matplotlib widget

fig= plt1.figure(figsize=(20, 20), constrained_layout=True)
widths = [20]
heights = [20]
gs=fig.add_gridspec(1,1,width_ratios=widths, height_ratios=heights, wspace=0.05)
ax1a=fig.add_subplot(gs[0,:1])
ax1a.clear()


def prime_factors(n):
    i = 2
    factors = []
    while i * i <= n:
        if n % i:
            i += 1
        else:
            n //= i
            factors.append(i)
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors


p=1000000
x=np.zeros(p)
y=np.zeros(p)

for n in range(p):
    #Prime Factors
    f=prime_factors(n)

    #Exponent Prime Factors if even -1 odd +1
    exp=np.bincount(f)
    if np.sum(exp)%2==0:
        xn=-1
    else:
        xn=1
    x[n]=xn

    #Number Of Prime Factors if even -1 odd +1
    factors=np.nonzero(exp)[0]
    factors=np.size(factors)
    if np.sum(factors)%2==0:
        yn=-1
    else:
        yn=+1
    y[n]=yn
    
cx=np.cumsum(x)
cy=np.cumsum(y)

ax1a.plot(cy,cx, marker='', color='black', linestyle='-', markersize=0,linewidth=0.08)
ax1a.set_xlabel('$x$',fontsize=20)
ax1a.set_ylabel('$y$',fontsize=20)
ax1a.set_title('DNA sequence of natural numbers, n=' + str(p) + '.\nNo of prime factors: x=+1 (odd), x=-1 (even), Sum exponents:  y=+1 (odd), y=-1 (even)',fontsize=25)
ax1a.grid(b=True, which='major', color='#666666', linestyle='-', zorder=0)
plt1.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')

[Human]

OOOVincentOOO,

Waw, straf, heel straf voor mij !
Zal er wat tijd moeten over doen om het te begrijpen !
Wat is de "c" ........in uw "cx" en uw "cy" aub ?

Mag ik wat uitleg in gewone taal waarin U "uw andere aanpak" verduidelijkt tegenover "mijn aanpak" aub?

[OOOVincentOOO]

@Human,

Het is eigenlijk een uitbreiding op wat U bedacht heeft. U noemt qe/qo het aantal unieke priemfactoren en se/so de som van de exponenten. Zoals ik eerder vertelde ik vind dit een interessante serie.

Ik normeer Uw getallen 1 t/m 4 anders. Het aantal unieke priemfactoren noem ik y; waarbij y=-1 voor een even aantal en y=+1 voor oneven aantal. De som van de exponenten van de priemfactoren noem ik x; waarbij x=-1 voor een even aantal en x=+1 voor oneven aantal.

qese = 2 -> x=-1, y=-1
qeso = 4 -> x=+1, y=-1
qose = 3 -> x=-1, y=+1
qoso = 1 -> x=+1, y=+1

Zie tabel:

Men kan nu de gevonden waarden voor x en y cumulatief optellen cx en cy.
Nu start men in voor getal n=0 in coördinaat xc=0 en yc=0. In feite bekijkt men het statistisch wat is de kans dat x=+1 of -1 is en y=+1 of -1.

Dit is een zogenaamde random walk (een discrete versie van Brownse beweging). Onderstaand heb ik een animatie gemaakt hoe deze serie groeit in de tijd.

Observaties:
- Bij kleine getallen
- Voor kleine getallen groeit de random walk sneller x en y worden steeds groter.
- Voor grotere getallen lijkt de groei af te nemen steeds vaker de neiging richting de oorsprong te rug te keren meer “randomness”.

Enkele vragen wat mij naar boven komen:
- Blijft deze serie divergeren (groeien)? Of; zullen bij (zeer) grote getallen er kans zijn terug te keren naar de oorsprong?

Video op Youtube (kwam er te laat achter dat er spelfout in de titel zit: Factorisation moet met een z )

[OOOVincentOOO]

Ik heb nog een simulatie gemaakt tot en met: 3.000.000. Erg mooie serie en ga wat meer studeren op de eigenschappen. De eerste zoektocht naar verklaringen heeft al wat opgeleverd. Het aantal unieke delers even of oneven (de y-as):

https://math.stackexchange.com/a/315791/650339

Het is nog een onopgelost thema zoals ik begrijp. Volgens de Generalized Prime Number Theorem zouden het even en oneven aantal unieke delers niet veel van elkaar moeten variëren (zoals ik begrijp). De simulatie is natuurlijk maar een klein aantal getallen tot slechts 3.000.000.

De x-as is het aantal exponenten (ofwel het totaal aantal delers inclusief duplicaten), deze zal blijven groeien. Ik moet nog verder studeren in welk tempo.

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt1
from matplotlib.ticker import (MultipleLocator, FormatStrFormatter,
                               AutoMinorLocator)

%matplotlib widget

fig, ax1a = plt1.subplots(1, figsize=(16, 8))
ax1a.clear()

def prime_factors(n):
    i = 2
    factors = []
    while i * i <= n:
        if n % i:
            i += 1
        else:
            n //= i
            factors.append(i)
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors


p=30001
x=np.zeros(p)
y=np.zeros(p)
ftot=np.array([])

for n in range(p):
    
    #Prime Factors
    f=prime_factors(n)
    #ftot=np.append(ftot,str(f))
    
    #Exponent Prime Factors if even -1 odd +1
    exp=np.bincount(f)
    if np.sum(exp)%2==0:
        xn=-1
    else:
        xn=1
    x[n]=xn

    #Number Of Prime Factors if even -1 odd +1
    factors=np.nonzero(exp)[0]
    factors=np.size(factors)
    if np.sum(factors)%2==0:
        yn=-1
    else:
        yn=1
    y[n]=yn
    
cx=np.cumsum(x)
cy=np.cumsum(y)

ax1a.plot(cy,cx, marker='', color='black', linestyle='-', markersize=0,linewidth=0.06)

ax1a.set_xlabel('$x$',fontsize=20)
ax1a.set_ylabel('$y$',fontsize=20)
plt1.title('Sum exponents:  x=+1 (odd), x=-1 (even), Count unique prime factors: y=+1 (odd), y=-1 (even)', fontsize=14)
plt1.suptitle('Parity random walk of prime factorization', fontsize=30,y=0.96)

ax1a.grid(b=True, which='major', color='#666666', linestyle='-', zorder=0)

ax1a.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(200))
ax1a.yaxis.set_major_locator(MultipleLocator(200))

plt1.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt1.savefig('Random Walk00000', dpi=300, bbox_inches='tight')

#images=2000

#for q in range(images):
    
#    i=q*(p-1)/images+(p-1)/images
    
#    ax1a.clear()
#   ax1a.plot(cy,cx, marker='', color='black', linestyle='-', markersize=0,linewidth=0.06)
#    l='n= ' + str(int(i)) + '\nfactors: ' + str(np.intc(prime_factors(i))) + '\nparity: x=' +  str(x[int(i)]) + ', y=' +  str(y[int(i)]) + '\ncumulative: x=' +  str(cx[int(i)]) + ', y=' +  str(cy[int(i)]) 
#    ax1a.plot(cy[0:int(i)],cx[0:int(i)], marker='', color='red', linestyle='-', markersize=0,linewidth=0.08)
#    ax1a.plot(cy[int(i)],cx[int(i)], marker='o', color='red', linestyle='-', markersize=3,linewidth=0,label=l)

#    ax1a.set_xlabel('$x$',fontsize=20)
#    ax1a.set_ylabel('$y$',fontsize=20)
#    plt1.title('Sum exponents:  x=+1 (odd), x=-1 (even), Count unique prime factors: y=+1 (odd), y=-1 (even)', fontsize=14)
#    plt1.suptitle('Parity random walk of prime factorization', fontsize=30,y=0.96)

#    ax1a.grid(b=True, which='major', color='#666666', linestyle='-', zorder=0)
#    ax1a.xaxis.set_major_locator(MultipleLocator(200))
#    ax1a.yaxis.set_major_locator(MultipleLocator(200))
#    ax1a.legend(loc='upper left',fontsize=12,markerscale=1,frameon=False)
    
#    plt1.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
#    plt1.savefig('Random Walk' + str("%05d" % (q+1)), dpi=300, bbox_inches='tight')

[Human]

OOOVincentOOO

Dank voor de denk energie die U er in stak / steekt.
Ik snap het, u maakt gewoon + 1 als oneven en -1 als even ......... doet mij denken aan een rij van Mobius .
Weet U welke ik bedoel ?
Heeft U de animatie op You tube geplaatst (vers van de pers) .... of bestond die al.

De rij die ik wou publiceren in OEIS 271422 was iets afwijkend van algoritmen.
Voor zover deze U ook zou kunnen interesseren ...... hier gaan we.

Eerste algoritme NIET HET AANTAL unieke priemfactoren, maar de SOM ervan... die even of oneven is
Tweede algoritme zelfde als in vorige rij .... de SOM van de exponenten ..... Die even of oneven is.

Heeft U hier iets aan ?

[OOOVincentOOO]

De rij die ik wou publiceren in OEIS 271422 was iets afwijkend van algoritmen.
Voor zover deze U ook zou kunnen interesseren ...... hier gaan we.

Eerste algoritme NIET HET AANTAL unieke priemfactoren, maar de SOM ervan... die even of oneven is
Tweede algoritme zelfde als in vorige rij .... de SOM van de exponenten ..... Die even of oneven is.

Inderdaad de animatie heb ik zelf gemaakt vers van de pers. Inderdaad de Mobius gebruikt iets dergelijks. Door het digitaal [-1,+1] te bekijken krijg je meer informatie.

Ik gebruik toch Uw methode, ik doe toch hetzelfde?

Som aantal unieke priemfactores: Even: y=-1, Oneven y=1.
Som aantal exponenten: Even: x=-1, Oneven x=1.

Waar verschillen wij van interpetatie? Erg verwarrend zo.

[Xilvo]

Eerste algoritme NIET HET AANTAL unieke priemfactoren, maar de SOM ervan... die even of oneven is
Tweede algoritme zelfde als in vorige rij .... de SOM van de exponenten ..... Die even of oneven is.

Het is wat verwarrend als je niet steeds hetzelfde schrijft. Uit eerdere berichten:

Ik maak de som van het aantal factoren (zonder het getal 1) ....... het aantal is even of oneven.
Ik maak de som van de exponenten .......... het aantal is even of oneven.

Er is een som van de factoren of een aantal factoren, maar wat is de som van het aantal factoren?

16 = 2^4 ........... oneven aantal factoren, even aantal som van de machten .... dus ONEVEN^EVEN
17 = 17^1 ....... oneven aantal factoren, oneven som van de machten .... dus ONEVEN ÔNEVEN

Bij 16 is de enige priemfactor 2, en de som dus even.

[OOOVincentOOO]

Xilvo,

Inderdaad ik bedoel:

Aantal unieke priemfactores: Even: y=-1, Oneven y=1.
Som exponenten (ofwel totaal aantal delers inclusief herhaling): Even: x=-1, Oneven x=1.

Gelukkig staat het in filmpje goed.

[Human]

Xilvo en OOOVincentOOO,

De verwarring ontstaat soms aan de kant van de ontvanger, niet van de zender.
Ik schreef nu inderdaad iets anders omdat het over mijn tweede DNA rij gaat die ik wou / wil publiceren (zie hieronder)
De basis is de ontbinding van elk natuurlijk getal in zijn unieke priemfactoren met hun resp. machten.
(getal 1 niet meegerekend)

In de OEIS 271421 (helaas niet opgenomen) nam ik als twee algoritmes 1. Het AANTAL priemfactoren van n ... Even of Oneven
2. De som van de exponenten ... even of oneven.

In de OEIS 271422 (helaas ook niet opgenomen) nam ik de volgende algoritmen
1.De SOM van de priemfactoren ... Even of Oneven
2. Idem als hierboven.
Nu duidelijker ......... ik heb twee DNA achtige rijen.

[Xilvo]

De verwarring ontstaat soms aan de kant van de ontvanger, niet van de zender.

Soms wel. Hier niet.
"De som van het aantal factoren" is een ongelukkige manier van formuleren.

[Human]

Xilvo,

U bedoeld wellicht "was" ipv "is" ..... want nu is het toch niet zo, denk ik.

OOOVincentOOO

De tweede rij met de SOM van de priemfactoren maakte ik uit interesse voor het ABC vermoeden, maar enig verband zie ik nog niet hoor.

[OOOVincentOOO]

Ik had de definities van pdf document:

Based on the unique prime factorisation of the Natural Numbers.
Count the quantity of primes of the Number, it is even (qe) or odd (qo)
Count the sum of the powers of the primes of the number, it is even(se) or
odd(so)
There are four (4) possibilities qese, qeso, qose, qoso
I define the four(4) numbers in the sequence
qese = 2
qeso = 4
qose = 3
goso = 1
The numbers 1,2,3,4 in the sequence can be interpreted as the DNA code ATCG
of the Natural Numbers

Aantal unieke priemfactores: Even: y=-1, Oneven y=1.
Som exponenten (ofwel totaal aantal delers inclusief herhaling): Even: x=-1, Oneven x=1.

Ik kan misschien vanavond eens kijken wat er gebeurt als ik de pariteit (even / oneven) neem van de som van unieke priemfactoren. Alle priemgetallen zijn oneven behalve 2, er onstaan dan de volgende situaties:

Oneven getal:
Heeft geen 2 als priem factor.
Som oneven aantal priemfactoren: oneven
Som even aantal priemfactoren: even
Dus de pariteit van de som en het aantal priemfactoren correleren 1:1.

Even getal:
Heeft altijd 2 als priem factor (niet zeker).
Som oneven aantal andere priemfactoren: oneven
Som even aantal andere priemfactoren: even
Dus priemgetal 2 inverteerd de uitkomst bij even aantal unieke priemfactoren. Dus voor even getallen inverteerd de pariteit.

(correctie ik twijfel even over het laatste, daar moet ik nog even over nadenken!)