FLT versie 1

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 379

FLT versie 1

x^n+y^n = z^n heeft geen oplossingen van natuurlijke getallen voor n>2 (Wiles)
.........................................................
Maar elke "n"de macht van een natuurlijk kan geschreven worden als het verschil van twee kwadraten van natuurlijke getallen.
x^n = (a^2-b^2)
y^n= (c^2-d^2)
z^n = (e^2-f^2)
........................................................
Dit leidt tot een vergelijking in macht 2
(a^2+c^2+f^2) = (b^2+d^2+e^2)
.........................................................
Er zijn blijkbaar oneindig veel oplossingen met natuurlijke getallen voor a,b,c,d,e,f
.........................................................
Wie kan mij de voorwaarden opgeven voor de getallen a,b,c,d,e,f opdat er oplossingen zouden zijn ?
Aantonen dat aan die voorwaarden niet kan voldaan worden zou een bewijs zijn voor FLT, of ben ik verkeerd ?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.198

Re: FLT versie 1

Human schreef: vr 02 apr 2021, 19:44 Er zijn blijkbaar oneindig veel oplossingen met natuurlijke getallen voor a,b,c,d,e,f
.........................................................
Wie kan mij de voorwaarden opgeven voor de getallen a,b,c,d,e,f opdat er oplossingen zouden zijn ?
Aantonen dat aan die voorwaarden niet kan voldaan worden zou een bewijs zijn voor FLT, of ben ik verkeerd ?
Het feit dat er oplossingen zijn toont aan dat aan die voorwaarden (wat ze ook zijn moge) wel voldaan kan worden.

Berichten: 379

Re: FLT versie 1

Eigenlijk stelde ik mijn vraag verkeerd.
Zou beter geformuleerd worden als volg:
..................................................
Wie kan mij de voorwaarden opgeven voor en tussen de getallen a,b,c,d,e,f, opdat er geen oplossingen zouden zijn
voor x^n-y^n= z^n
...................................................
Ik kom aan het feit dat elke "n"de macht te schrijven is als het verschil van twee kwadraten als volgt.
x^n =(x^(n-1)) . (x^1) = ((x^(n-1) + x^1)/2)^2 - ((x^(n-1) - x^1)/2)^2 = a^2 -b^2
a + b = x^(n-1)
a - b = x^1

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.504

Re: FLT versie 1

Je gaat dus uit van a = ½(xn-1+x) en b = ½(xn-1-x), dus ook c = ½(yn-1+y), d = ½(yn-1-y), e = ½(zn-1+z) en
f = ½(zn-1-z). Omdat a t/m f natuurlijke getallen zijn betekent dit dat x en xn-1 allebei oneven of allebei even moeten zijn. Idem voor y en yn-1 en z en zn-1. Voor xn+yn = zn levert dat dan de volgende mogelijkheden op:
zn is even, dus xn en yn zijn beide even of beide oneven
zn is oneven, dus xn is even en yn is oneven of xn is oneven en yn is even. Omdat je weet hoe x en xn-1, y en yn-1 en z en zn-1 gedefinieerd zijn liggen de uitdrukkingen voor xn, yn en zn daarmee dus vast.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 379

Re: FLT versie 1

@mathfreak,

Dank U.
Ik zou natuurlijk nog aan bijkomende voorwaarden willen komen voor a tem f die aantonen dat er geen oplossingen zijn
voor x^n+y^n = z^n.
Het is namelijk zo dat (a^2+c^2+f^2) = (b^2+d^2+e^2) oneindig veel oplossingen heeft.
Het komt er op aan voorwaarden te vinden / bepalen conform de vergelijking in x,y,z zodat ze geen oplossingen meer heeft.
Ik denk dat diegenen die ik in mijn topic en reactie vermelde zinvol zijn ..... maar niet voldoende.
Gaat U mee de uitdaging aan ?
Wie wel / ook ?

Berichten: 379

Re: FLT versie 1

@mathfreak,
Wat mij zelf bevalt in mijn topic is dat ik de FLT vergelijking met een willekeurig grote macht "n" reduceer naar en vergelijking van macht 2 maar met meer termen.
Ik dacht dat op die wijze het FLT mogelijks gemakkelijker te benaderen was / is.
Ok, het zal niet meer zijn dan een verschuiving van het FLT probleem waarschijnlijk.
Gezien het gebrek aan reacties zal dat wellicht zo zijn!
Ik maak mij geen illusies hoor, maar blijf toch benieuwd naar het formuleren van "voorwaarden voor a,b,c,d,e,f

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.504

Re: FLT versie 1

Merk op dat x en xn-1 voor even x beide even zijn en voor oneven x beide oneven, en dat voor y en yn-1 en z en zn-1 hetzelfde geldt. Je weet hoe a en b van x en x en xn-1 afhangen, hoe c en d van y en yn-1 afhangen en hoe e en f van z en zn-1 afhangen. Bovendien weet je dat a²+c²+f² = b²+d²+e², dus daarmee liggen de voorwaarden voor a t/m f vast.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 379

Re: FLT versie 1

@mathfreak,
Juist, maar hoe is te bewijzen dat de kwadratische vergelijking "geen oplossingen" heeft in dat geval ?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.504

Re: FLT versie 1

Als z even is zijn x en y beide oneven of beide even. Als z oneven is, is x even en y oneven of x oneven en y even. Begin dus eens met voor x, y en z een waarde te kiezen in termen van even of oneven. Je weet hoe de waarden a en b van x en xn-1 afhangen, hoe de waarden van c en d van y en y n-1 afhangen en hoe de waarden van e en f van z en zn-1 afhangen. Een even getal heeft de algemene gedaante 2k en een oneven getal heeft de gedaante 2k-1, waarbij k≥1. Voor x, y en z kies je dus zo'n algemene gedaante van een even of oneven getal. Kies voor x bijvoorbeeld 2p of 2p-1, voor y 2q of 2q-1 en voor z 2r of 2r-1, dan zullen a t/m f dus een uitdrukking in p, q of r bevatten. Je weet hoe a t/m f met elkaar samenhangen, dus weet je ook hoe p, q en r met elkaar samenhangen.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 379

Re: FLT versie 1

@mathfreak,
Dank U, zal er binnenkort bij een helder moment werk van maken.
Of deed U het reeds ?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.504

Re: FLT versie 1

Nee, dat laat ik verder aan jou over.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Reageer