Pi tot op 62biljoen decimalen
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 31
Pi tot op 62biljoen decimalen
https://www.scientias.nl/getal-pi-opnie ... en-bekend/
de laatste 10 cijfers in die ongelooflijke reeks : 7817924264
ik vroeg me nu af, aangezien de decimalen van pi oneindig verder blijven lopen zonder zich te herhalen, betekent dit dan dat elke combinatie van 10 getallen wel ergens zal verschijnen ?
of is het toch zo dat niet elke combinatie zal voorkomen ?
of weten we dat gewoonweg niet ?
de laatste 10 cijfers in die ongelooflijke reeks : 7817924264
ik vroeg me nu af, aangezien de decimalen van pi oneindig verder blijven lopen zonder zich te herhalen, betekent dit dan dat elke combinatie van 10 getallen wel ergens zal verschijnen ?
of is het toch zo dat niet elke combinatie zal voorkomen ?
of weten we dat gewoonweg niet ?
-
- Berichten: 463
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
Weten we (nog) niet, zie bv:
https://oeis.org/wiki/Disjunctive_numbe ... _number.3F
It is not known whether π = 3.1415926535897932384626433832795... is a disjunctive number.
Voor achtergronden van disjunctive numbers (= disjunctieve getallen), zie bv:
https://en.wikipedia.org/wiki/Disjunctive_sequence
In het kort:
Een rijk getal (= disjunctief getal = disjunctive number) is een reeel getal waarvan de cijfers achter de komma een disjunctieve rij vormen.
Een disjunctieve rij is een oneindige rij (over een eindig alfabet van karakters; in ons geval
de 10 cijfers 0 t/m 9) waarin elke eindige rij (in ons geval: elk getal) voorkomt als een deelrij.
https://oeis.org/wiki/Disjunctive_numbe ... _number.3F
It is not known whether π = 3.1415926535897932384626433832795... is a disjunctive number.
Voor achtergronden van disjunctive numbers (= disjunctieve getallen), zie bv:
https://en.wikipedia.org/wiki/Disjunctive_sequence
In het kort:
Een rijk getal (= disjunctief getal = disjunctive number) is een reeel getal waarvan de cijfers achter de komma een disjunctieve rij vormen.
Een disjunctieve rij is een oneindige rij (over een eindig alfabet van karakters; in ons geval
de 10 cijfers 0 t/m 9) waarin elke eindige rij (in ons geval: elk getal) voorkomt als een deelrij.
- Berichten: 4.320
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
Het is zelfs mogelijk dat in de decimalen sommige cijfers totaal ontbreken.
-
- Berichten: 222
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
Als de decimalen willekeurig neergezet worden zal elke rij decimalen zich herhalen. Elk aantal decimalen zal zich herhalen. Zelfs zestig biljoen. Pi is echter niet willekeurig. De decimalen kunnen worden uitgerekend.
Alle materie bevat magisch stof
- Berichten: 342
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
wordt gebruikt in getaltheorie volgens mij. Niet per se in engineering ![Knipoog ;)](./images/smilies/icon_e_wink.gif)
![Knipoog ;)](./images/smilies/icon_e_wink.gif)
-
- Berichten: 634
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
Maakt men zich ook zo druk om
e = 2,71828182845905 = exp(1)
of andere getallen?
e = 2,71828182845905 = exp(1)
of andere getallen?
- Moderator
- Berichten: 9.967
- Berichten: 2.333
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
Opvallend is dat de benodigde tijd om N digits van pi te berekenen O(N) is en het benodigde geheugen O(log N).
Dat valt best mee om progressie te boeken.
https://cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math- ... ode12.html
Dat valt best mee om progressie te boeken.
https://cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math- ... ode12.html
-
- Berichten: 5
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
Praktisch nut? Nee. Bij cirkel met een doorsnede van onze Melkweg zijn ca 35 decimalen genoeg om de omtrek te bepalen met de nauwkeurigheid van de afmeting van een proton.
Boeiend en leuk is het wel. Ik heb 10 jaar geleden vanuit Exel een poster gemaakt van ca 50.000 decimalen, elke decimaal met een eigen kleur.
- Berichten: 2.906
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
Ik neem aan dat je verwijst naar dit stukje:wnvl1 schreef: ↑wo 19 jan 2022, 01:04 Opvallend is dat de benodigde tijd om N digits van pi te berekenen O(N) is en het benodigde geheugen O(log N).
Dat valt best mee om progressie te boeken.
https://cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math- ... ode12.html
Maar daar staat dus niet wat jij zegt. Er staat dat het berekenen van het N-de cijfer gedaan kan worden in O(N) time and O(log N) space. Dat is dus niet hetzelfde als het berkenen van de eerste N cijfers.An interesting new method was recently proposed by David Bailey, Peter Borwein and Simon Plouffe. It can compute the Nth hexadecimal digit of Pi efficiently without the previous N-1 digits. The method is based on the formula:
\(\pi = \sum_{i = 0}^\infty (1 16^i) ((4 8i + 1) - (2 8i + 4) - (1 8i + 5) - (1 8i + 6))\)
in O(N) time and O(log N) space. (See references.)
-
- Berichten: 463
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
\(\displaystyle \pi = \sum_{i = 0}^\infty \left[ \frac{1}{16^i} \left( \frac{4}{8i + 1} - \frac{2}{8i + 4} - \frac{1}{8i + 5} - \frac{1}{8i + 6} \right) \right]\)
zie https://observablehq.com/@rreusser/comp ... fe-formula
(mooie pagina, waar ook voorbeelden en programmeercode gegeven wordt)
zie https://observablehq.com/@rreusser/comp ... fe-formula
(mooie pagina, waar ook voorbeelden en programmeercode gegeven wordt)
-
- Technicus
- Berichten: 1.162
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
[Edit]: oeps, er waren al heel veel reacties die ik niet had gezien
- Berichten: 2.333
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
Klopt, de complexiteit gaat maximum naar \( O(N^2)\) voor N cifers als je ze allemaal wil berekenen. Het geheugen blijft wel mooi beperkt met die O(logN).
- Berichten: 2.333
Re: Pi tot op 62biljoen decimalen
Code: Selecteer alles
import time
import matplotlib.pyplot as plt
D = 14 # number of digits of working precision
M = 16 ** D
SHIFT = (4 * D)
MASK = M - 1
def S(j, n):
# Left sum
s = 0
k = 0
while k <= n:
r = 8*k+j
s = (s + (pow(16,n-k,r)<<SHIFT)//r) & MASK
k += 1
# Right sum
t = 0
k = n + 1
while 1:
xp = int(16**(n-k) * M)
newt = t + xp // (8*k+j)
# Iterate until t no longer changes
if t == newt:
break
else:
t = newt
k += 1
return s + t
def pi(n):
n -= 1
x = (4*S(1, n) - 2*S(4, n) - S(5, n) - S(6, n)) & MASK
return "%014x" % x
# x axis values
n_array = [1000, 10000, 100000, 200000, 300000, 400000, 1000000]
# corresponding y axis values
tijd = [0]*len(n_array)
for i in range(len(n_array)):
start = time.time()
pi(n_array[i])
end = time.time()
tijd[i] = end - start
# plotting the points
plt.plot(n_array, tijd)
# naming the x axis
plt.xlabel('hexadecimale digit van pi')
# naming the y axis
plt.ylabel('Tijd (s)')
# giving a title to my graph
plt.title('Pi')
# function to show the plot
plt.show()
https://web.archive.org/web/20150627225 ... 8Python%29