weerstanden

[RedCat]

Dat wel, maar ik vind de afsluiting niet bevredigend. Ideaal gesproken vindt hier iemand op het forum op zeker moment de oplossing. Die persoon heeft dan het plezier het voor elkaar te hebben gekregen, en de rest kan van de gebruikte oplossingswijze weer wat leren.

WillemB heeft uit http://stanwagon.com/potw/fall13/p1165.html de "Medium Hard Version" opgelost: "vind een (a,b,c,d) met a zo klein mogelijk", zie:

Wellicht valt het nog mee, je hebt per schakeling 16 mogelijkheden, totaal 64,
daar zitten dubbelIngen in, zo te zien houd je dan totaal van de 4 schakeling 4 mogelijkheden per schakeling over.

Je kan dat in een spreadsheet zetten, met de 4x4 is 16 uitkomsten,
dan kan je met de vier variabelen a,b,c,d spelen tot uit de 16 mogelijke uitkomsten,
weer 4 keer a, b,c en d uitkomt.

Op goed geluk 1, 2, 3 en 4 ohm, krijg je al 1 ongeveer 2 ongeveer 3 en ongeveer 4.

Dit is een puzzel die nog met pen en papier te doen is.

Nu hebben we alleen de mededeling dat het raadsel al is opgelost, zonder dat we weten hoe.

De "Very Hard Version" van het probleem ("vind de oplossing en toon aan dat deze essentieel uniek is") is een probleem van heel andere orde.
Ze hebben blijkbaar met "Mathematica's equation-solving tools" uitputtend alle (stelsels van) diophantische vergelijkingen symbolisch doorzocht (alle 230000 relevante situaties), en dat is niet meer met pen en papier te doen.
Dus inderdaad niet geschikt als alledaagse tussendoor-puzzel, maar wel erg boeiend vanuit de wiskunde en informatica bezien.

[WillemB]

Zouden we het bewijs kunnen omdraaien,

Stel vier weerstanden van 1 , 2 , 3 en 4, hoeveel mogelijkheden zijn er dan om
Met deze vier weerstanden een schakeling te maken die als vervang weerstand,
Een waarde heeft gelijk aan 1 van de vier weerstanden.


Als ik het snel bekijk zijn er 8 schakelingen mogelijk om 4 weerstanden te schakelen,
Daar valt dan 4 in serie en 4 parallel al vanaf. Blijft 6 schakelingen over die
Ieder ongeveer 4 manieren gecombineerd kunnen worden.

Dan houd je dus een stuk of 24 mogelijkheden over om door te rekenen, om te
Bepalen welke aan de gestelde voorwaarden voldoet.

Dan heb je volgens mij een sluitend bewijs welke mogelijkheden je hebt om
Met vier weerstanden van 1,2,3,4 een schakeling te maken die voldoet.

Het bewijs geld dan uiteraard alleen voor die vier waarden, het sluit andere
Waarden niet uit.

[RedCat]

10 schakelingen of mis ik iets ?

[Professor Puntje]

De vervangweerstand van S1 is groter dan elk van de in serie geschakelde weerstanden, en de vervangweerstand van S10 is kleiner dan elk van de parallel geschakelde weerstanden.

[Bart23]

10 schakelingen of mis ik iets ?

10 is correct;-)
https://oeis.org/A000084

[WillemB]

dan hebben we dus 8 bruikbare schakeling die zouden kunnen voldoen,
waar bij sommige enkele variaties mogelijk zijn, en andere iets van 6 zo te zien.

In totaal is dit te overzien, zo komen er een aantal schakelingen uit die
voldoen aan de voorwaarde, dat de vervang weerstand gelijk is aan 1 van de 1,2,3,4 waarden.

Zal ze eens kijken of ik ze in een spreadsheet kan zetten.

Is dit dan een sluitend bewijs, voor het aantal mogelijkheden van waarbij de
voorwaarde geld ???

Kan zijn dat de bedenker van dit raadsel, ook via deze weg er gekomen is.
Als het bewijs sluitend is.

[Xilvo]

Zoals te verwachten leiden bij weerstandswaardes 1, 2, 3, 4 alleen s3, s5 en s9 tot waardes die overeenkomen met de losse weerstanden:

Dat alleen die schakelingen in de opgave zaten is dus geen toeval.

[RedCat]

Kan zijn dat de bedenker van dit raadsel, ook via deze weg er gekomen is.

Met jouw werkwijze kunnen we in ieder geval dergelijke puzzels construeren (leuk!).
Hier een voorbeeld met 5 geheeltallige weerstanden 0 < a < b < c < d < e
en 5 schakelingen (uit de 24 bestaande schakelingen met 5 weerstanden, zie de OEIS link van Bart23)
met 5 substitutieweerstanden van precies a, b, c, d en e:



Een mogelijke oplossing is (a, b, c, d, e) = (2, 3, 4, 5, 6)
Maar dit sluit niet uit dat er nog wezenlijk andere oplossingen zijn.
Ook is voor dit vijftal de keuze van de 5 uit 24 schakelingen niet uniek.

[Professor Puntje]

1,2,3,4
2,3,4,5,6

Dat geeft te denken....

[Xilvo]

10 schakelingen of mis ik iets ?

Hoe stel je systematisch alle mogelijke schakelingen met n weerstanden op?

[RedCat]

Daar ben ik ook benieuwd naar.
De 10 netwerken met 4 weerstanden heb ik handmatig gevonden:
vanuit de ingang heb ik eerst gekeken naar schakelingen met 1 weerstand parallel ("1 hoog"; s1),
dan 2 weerstanden hoog (s2 t/m s6), dan 3 hoog (s7 t/m s9), en 4 hoog (s10).
Dit leek me volledig, maar je weet nooit of je met deze werkwijze toch niet wat mist.

Het probleem ligt zelfs nog ingewikkelder dan de OEIS link van Bart23:

10 is correct;-)
https://oeis.org/A000084

Hier tellen ze alleen serieel-parallel netwerken, met als recursieve definitie (vanuit onze weerstanden gezien):

Een SP-netwerk is:
- een losse weerstand
- 2 SP-netwerken in serie
of
- 2 SP-netwerken parallel.

Nu is recursie vaak een mooie ingang naar de constructie.
Maar er zijn ook weerstand-schakelingen die geen SP-netwerk zijn, bijvoorbeeld deze met 5 weerstanden:



Ik schat dat het nog een aardige klus wordt om aantoonbaar alle schakelingen voor een gegeven aantal weerstanden te vinden.

[Xilvo]

Een ideetje.
Een netwerk met n weerstanden bestaat uit p=2 ... n+1 verbindingspunten, inclusief de aansluitpunten aan de uiteindes.
Plaats eerst een weerstand tussen de opeenvolgende punten. Bij p=n+1 punten zijn de weerstanden dan op, je hebt een serieschakeling.

Voor de andere gevallen, je hebt c=p!/(p-2)! mogelijke combinaties van aansluitpunten voor het resterende aantal r=(n+1)-p weerstanden.
Ieder van die weerstanden kan aangesloten worden op elke mogelijke combinatie van aansluitpunten.
Dat geeft (r+c-1)!/((c-1)!(r)!) mogelijkheden.

Ik denk dat je dan alle mogelijke schakelingen hebt. Dan moet je de identieke (gespiegelde) er nog uit zien te vissen.

[Xilvo]

Ik vrees dat mijn ideetje

weerstand.png (709 Bytes) 960 keer bekeken

niet kan produceren.

[RedCat]

Voor het curiositeitenkabinet:
De serieel-parallele netwerken met N = 1 t/m 7 weerstanden.
De opbouw gaat systematisch vanuit de partities van N.
Voor N ≥ 2 bestaat voor elke schakeling ook nog een duale schakeling waarin alle / en - symbolen zijn omgewisseld (zo is bijvoorbeeld de duale van (r/r)-r de schakeling (r-r)/r ).
Het aantal netwerken groeit erg snel met N, zie ook https://oeis.org/A000669

Code: Selecteer alles

N = 1:
r

N = 2:
r-r

N = 3:
(r/r)-r
r-r-r

N = 4:
((r-r)/r)-r
(r/r/r)-r
(r/r)-(r/r)
(r/r)-r-r
r-r-r-r

N = 5:
(((r/r)-r)/r)-r
((r-r-r)/r)-r
((r-r)/(r-r))-r
((r-r)/r/r)-r
(r/r/r/r)-r
((r-r)/r)-(r/r)
(r/r/r)-(r/r)
((r-r)/r)-r-r
(r/r/r)-r-r
(r/r)-(r/r)-r
(r/r)-r-r-r
r-r-r-r-r
12 circuits

N = 6:
((((r-r)/r)-r)/r)-r
(((r/r/r)-r)/r)-r
(((r/r)-(r/r))/r)-r
(((r/r)-r-r)/r)-r
((r-r-r-r)/r)-r
(((r/r)-r)/(r-r))-r
((r-r-r)/(r-r))-r
(((r/r)-r)/r/r)-r
((r-r-r)/r/r)-r
((r-r)/(r-r)/r)-r
((r-r)/r/r/r)-r
(r/r/r/r/r)-r
(((r/r)-r)/r)-(r/r)
((r-r-r)/r)-(r/r)
((r-r)/(r-r))-(r/r)
((r-r)/r/r)-(r/r)
(r/r/r/r)-(r/r)
(((r/r)-r)/r)-r-r
((r-r-r)/r)-r-r
((r-r)/(r-r))-r-r
((r-r)/r/r)-r-r
(r/r/r/r)-r-r
((r-r)/r)-((r-r)/r)
(r/r/r)-((r-r)/r)
(r/r/r)-(r/r/r)
((r-r)/r)-(r/r)-r
(r/r/r)-(r/r)-r
((r-r)/r)-r-r-r
(r/r/r)-r-r-r
(r/r)-(r/r)-(r/r)
(r/r)-(r/r)-r-r
(r/r)-r-r-r-r
r-r-r-r-r-r
33 circuits

N = 7:
(((((r/r)-r)/r)-r)/r)-r
((((r-r-r)/r)-r)/r)-r
((((r-r)/(r-r))-r)/r)-r
((((r-r)/r/r)-r)/r)-r
(((r/r/r/r)-r)/r)-r
((((r-r)/r)-(r/r))/r)-r
(((r/r/r)-(r/r))/r)-r
((((r-r)/r)-r-r)/r)-r
(((r/r/r)-r-r)/r)-r
(((r/r)-(r/r)-r)/r)-r
(((r/r)-r-r-r)/r)-r
((r-r-r-r-r)/r)-r
((((r-r)/r)-r)/(r-r))-r
(((r/r/r)-r)/(r-r))-r
(((r/r)-(r/r))/(r-r))-r
(((r/r)-r-r)/(r-r))-r
((r-r-r-r)/(r-r))-r
((((r-r)/r)-r)/r/r)-r
(((r/r/r)-r)/r/r)-r
(((r/r)-(r/r))/r/r)-r
(((r/r)-r-r)/r/r)-r
((r-r-r-r)/r/r)-r
(((r/r)-r)/((r/r)-r))-r
((r-r-r)/((r/r)-r))-r
((r-r-r)/(r-r-r))-r
(((r/r)-r)/(r-r)/r)-r
((r-r-r)/(r-r)/r)-r
(((r/r)-r)/r/r/r)-r
((r-r-r)/r/r/r)-r
((r-r)/(r-r)/(r-r))-r
((r-r)/(r-r)/r/r)-r
((r-r)/r/r/r/r)-r
(r/r/r/r/r/r)-r
((((r-r)/r)-r)/r)-(r/r)
(((r/r/r)-r)/r)-(r/r)
(((r/r)-(r/r))/r)-(r/r)
(((r/r)-r-r)/r)-(r/r)
((r-r-r-r)/r)-(r/r)
(((r/r)-r)/(r-r))-(r/r)
((r-r-r)/(r-r))-(r/r)
(((r/r)-r)/r/r)-(r/r)
((r-r-r)/r/r)-(r/r)
((r-r)/(r-r)/r)-(r/r)
((r-r)/r/r/r)-(r/r)
(r/r/r/r/r)-(r/r)
((((r-r)/r)-r)/r)-r-r
(((r/r/r)-r)/r)-r-r
(((r/r)-(r/r))/r)-r-r
(((r/r)-r-r)/r)-r-r
((r-r-r-r)/r)-r-r
(((r/r)-r)/(r-r))-r-r
((r-r-r)/(r-r))-r-r
(((r/r)-r)/r/r)-r-r
((r-r-r)/r/r)-r-r
((r-r)/(r-r)/r)-r-r
((r-r)/r/r/r)-r-r
(r/r/r/r/r)-r-r
(((r/r)-r)/r)-((r-r)/r)
(((r/r)-r)/r)-(r/r/r)
((r-r-r)/r)-((r-r)/r)
((r-r-r)/r)-(r/r/r)
((r-r)/(r-r))-((r-r)/r)
((r-r)/(r-r))-(r/r/r)
((r-r)/r/r)-((r-r)/r)
((r-r)/r/r)-(r/r/r)
(r/r/r/r)-((r-r)/r)
(r/r/r/r)-(r/r/r)
(((r/r)-r)/r)-(r/r)-r
((r-r-r)/r)-(r/r)-r
((r-r)/(r-r))-(r/r)-r
((r-r)/r/r)-(r/r)-r
(r/r/r/r)-(r/r)-r
(((r/r)-r)/r)-r-r-r
((r-r-r)/r)-r-r-r
((r-r)/(r-r))-r-r-r
((r-r)/r/r)-r-r-r
(r/r/r/r)-r-r-r
((r-r)/r)-((r-r)/r)-r
(r/r/r)-((r-r)/r)-r
(r/r/r)-(r/r/r)-r
((r-r)/r)-(r/r)-(r/r)
(r/r/r)-(r/r)-(r/r)
((r-r)/r)-(r/r)-r-r
(r/r/r)-(r/r)-r-r
((r-r)/r)-r-r-r-r
(r/r/r)-r-r-r-r
(r/r)-(r/r)-(r/r)-r
(r/r)-(r/r)-r-r-r
(r/r)-r-r-r-r-r
r-r-r-r-r-r-r
90 circuits