Ik ben Killing vectoren wat gedetailleerder aan het bestuderen. Ik vind voorbeelden terug om Killing vectoren te vinden voor Minkowski tijd ruimte, je vindt dan boosts terug. Voor statische symmetriche oplossingen kan je \(\frac{\partial}{\partial\theta}\), \(\frac{\partial}{\partial\phi}\) en \(\frac{\partial}{\partial t}\) terugvinden. De onderliggende berekeningen zijn te begrijpen, maar niet zo triviaal om er zomaar zelf op te komen.
Op wikipedia staat zonder bewijs dat voor \(g=y^{-2} (dx^{2}+dy^{2} )\) de Killing vector \(\frac{\partial}{\partial x}\) is.
Op zich zie ik wel dat de metriek niet verandert in de x richting, maar hoe vind je dat terug?
Ik veronderstel dat je vertrekt van
\(\zeta_{\alpha,\beta} + \zeta_{\beta,\alpha}=0\)
Maar wat dan?
Laatste berichten
-
09:34
Herleiden afmetingen vanaf een foto
-
07:53
Rotatie van het heelal 25
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Killing vectoren
Moderator: physicalattraction
-
- Berichten: 2.318
Re: Killing vectoren
Alternatief vertrekpunt kan zijn
\(\mathcal{L}_{\zeta}g_{\alpha\beta} = 0\)
Dan heb je
\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{\alpha\beta} + \partial_{\alpha} \zeta^{\mu} g _{\mu\beta} + \partial_{\beta} \zeta^{\mu} g _{\alpha\mu}= 0\)
\(\mathcal{L}_{\zeta}g_{\alpha\beta} = 0\)
Dan heb je
\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{\alpha\beta} + \partial_{\alpha} \zeta^{\mu} g _{\mu\beta} + \partial_{\beta} \zeta^{\mu} g _{\alpha\mu}= 0\)
-
- Berichten: 2.318
Re: Killing vectoren
Stel \(\alpha = 0\) en \(\beta = 0\)
\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{\mu0} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{0\mu}= 0\)
\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{00} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{10}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{01}= 0\)
Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus
\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{00} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)
\(g_{00}\) is onafhankelijk van \(x\), dus \(\partial_{0} g _{00}\) is 0.
\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)
\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ 2\partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)
We hebben \(g_{00}=y^{-2}\), dus
\(\zeta^{1} (-2)y^{-3}
+ 2\partial_{0} \zeta^{0} y^{-2} = 0\)
\(-\zeta^{1} y^{-3}
+ \partial_{0} \zeta^{0} y^{-2} = 0\)
Ik deel dan \( y^{-2}\) weg.
\(-\zeta^{1} y^{-1}
+ \partial_{0} \zeta^{0} = 0\)
Dit zou dan gedaan kunnen worden voor alle combinaties van \(\alpha\) en \(\beta\). Is dat het juiste spoor?
\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{\mu0} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{0\mu}= 0\)
\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{00} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{10}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{01}= 0\)
Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus
\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{00} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)
\(g_{00}\) is onafhankelijk van \(x\), dus \(\partial_{0} g _{00}\) is 0.
\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)
\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{00}
+ 2\partial_{0} \zeta^{0} g _{00} = 0\)
We hebben \(g_{00}=y^{-2}\), dus
\(\zeta^{1} (-2)y^{-3}
+ 2\partial_{0} \zeta^{0} y^{-2} = 0\)
\(-\zeta^{1} y^{-3}
+ \partial_{0} \zeta^{0} y^{-2} = 0\)
Ik deel dan \( y^{-2}\) weg.
\(-\zeta^{1} y^{-1}
+ \partial_{0} \zeta^{0} = 0\)
Dit zou dan gedaan kunnen worden voor alle combinaties van \(\alpha\) en \(\beta\). Is dat het juiste spoor?
-
- Berichten: 2.318
Re: Killing vectoren
Nu met \(\alpha = 1\) en \(\beta = 1\)
\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{11} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{\mu1} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{1\mu}= 0\)
\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{11} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{01} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{10} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)
Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus
\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{11} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)
\(g_{11}\) is onafhankelijk van \(x\), dus \(\partial_{0} g _{11}\) is 0.
\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)
\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ 2\partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
\)
We hebben \(g_{11}=y^{-2}\), dus
\(\zeta^{1} (-2)y^{-3}
+ 2\partial_{0} \zeta^{1} y^{-2} = 0\)
\(-\zeta^{1} y^{-3}
+ \partial_{0} \zeta^{1} y^{-2} = 0\)
Ik deel dan \( y^{-2}\) weg.
\(-\zeta^{1} y^{-1}
+ \partial_{0} \zeta^{1} = 0\)
\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{11} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{\mu1} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{1\mu}= 0\)
\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{11} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{01} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{10} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)
Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus
\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{11} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)
\(g_{11}\) is onafhankelijk van \(x\), dus \(\partial_{0} g _{11}\) is 0.
\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{1} g _{11}= 0\)
\(\zeta^{1} \partial_{1} g _{11}
+ 2\partial_{1} \zeta^{1} g _{11}
\)
We hebben \(g_{11}=y^{-2}\), dus
\(\zeta^{1} (-2)y^{-3}
+ 2\partial_{0} \zeta^{1} y^{-2} = 0\)
\(-\zeta^{1} y^{-3}
+ \partial_{0} \zeta^{1} y^{-2} = 0\)
Ik deel dan \( y^{-2}\) weg.
\(-\zeta^{1} y^{-1}
+ \partial_{0} \zeta^{1} = 0\)
-
- Berichten: 2.318
Re: Killing vectoren
Stel \(\alpha = 0\) en \(\beta = 1\)
\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{01} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{\mu1} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{0\mu}= 0\)
\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{01} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{01}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{01} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{01}= 0\)
Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus
\(\partial_{0} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{00} = 0\)
\(g_{00}\) en \(g_{11}\) zijn gelijk dus dat delen we weg.
\(\partial_{0} \zeta^{1}
+ \partial_{1} \zeta^{0} = 0\)
Maar ook dan zijn we er nog niet...
\(\zeta^{\mu} \partial_{\mu} g _{01} + \partial_{0} \zeta^{\mu} g _{\mu1} + \partial_{1} \zeta^{\mu} g _{0\mu}= 0\)
\(\zeta^{0} \partial_{0} g _{01} + \zeta^{1} \partial_{1} g _{01}
+ \partial_{0} \zeta^{0} g _{01} + \partial_{0} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{00} + \partial_{1} \zeta^{1} g _{01}= 0\)
Buiten de diagonalen is \(g\) overal 0, dus
\(\partial_{0} \zeta^{1} g _{11}
+ \partial_{1} \zeta^{0} g _{00} = 0\)
\(g_{00}\) en \(g_{11}\) zijn gelijk dus dat delen we weg.
\(\partial_{0} \zeta^{1}
+ \partial_{1} \zeta^{0} = 0\)
Maar ook dan zijn we er nog niet...
-
- Berichten: 2.318
Re: Killing vectoren
Hoe halen we hieruit de Killing vector \(\frac{\partial}{\partial x}\) of \(\zeta = (1,0)\)?
Re: Killing vectoren
De Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte.
Misschien helpt dit:
Vind de vraag verder een beetje vaag .. with all due respect. Hopelijk geeft Flappelap je een meer bevredigend antwoord
Misschien helpt dit:
Vind de vraag verder een beetje vaag .. with all due respect. Hopelijk geeft Flappelap je een meer bevredigend antwoord
-
- Berichten: 1.243
Re: Killing vectoren
Dit is volgens mij geen minkowski ruimte.Gast044 schreef: ↑di 07 sep 2021, 04:35 De Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte.
Misschien helpt dit:
Vind de vraag verder een beetje vaag .. with all due respect. Hopelijk geeft Flappelap je een meer bevredigend antwoord
@TS: je Killing vergelijking mist nog covariante afgeleiden, oftewel Christoffel symbolen. Als ik er aan toe kom, zal ik het uitwerken, maar lig nu met een emmer naast me op de bank ziek te wezen
Re: Killing vectoren
Jazeker wel. (Over dikgedrukte.) Wat doet je denken dat dat niet zo is? Na nog een keer kijken is het misschien niet de meest duidelijke uitleg.flappelap schreef: ↑di 07 sep 2021, 11:32Dit is volgens mij geen minkowski ruimte.Gast044 schreef: ↑di 07 sep 2021, 04:35 De Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte.
Misschien helpt dit:
Vind de vraag verder een beetje vaag .. with all due respect. Hopelijk geeft Flappelap je een meer bevredigend antwoord
@TS: je Killing vergelijking mist nog covariante afgeleiden, oftewel Christoffel symbolen. Als ik er aan toe kom, zal ik het uitwerken, maar lig nu met een emmer naast me op de bank ziek te wezen
Dus en maar eerst maar beterschap!
-
- Berichten: 2.318
Re: Killing vectoren
@TommyWhite Dit is zeker geen mikowski ruimte. Je ziet dat de metriek totaal anders is. Dit wordt een Poincarré metriek genoemd.
@Flappelap Hopelijk gaat het snel (al zal dat afhangen van het referentiestelsel) beter.
Je bedoelt dat ik moet vertrekken van
\(\zeta_{\alpha;\beta} + \zeta_{\beta;\alpha}=0\)
Dus met ; ipv ,. Ik dacht dat , volstond maar zal het nog eens nakijken.
@Flappelap Hopelijk gaat het snel (al zal dat afhangen van het referentiestelsel) beter.
Je bedoelt dat ik moet vertrekken van
\(\zeta_{\alpha;\beta} + \zeta_{\beta;\alpha}=0\)
Dus met ; ipv ,. Ik dacht dat , volstond maar zal het nog eens nakijken.
Re: Killing vectoren
Ik zie duidelijk (ook) een "Minkowski metriek".
Kun je mij dat uitleggen?
Leer ik misschien ook weer es wat en tis alweer een tijd geleden dat ik me bezig gehouden met dergelijks .. en ja wanneer gebruik ik het nou behalve bij het bestuderen ervan.
Kun je mij dat uitleggen?
Leer ik misschien ook weer es wat en tis alweer een tijd geleden dat ik me bezig gehouden met dergelijks .. en ja wanneer gebruik ik het nou behalve bij het bestuderen ervan.
Re: Killing vectoren
In ieder geval is het toch logisch dat Christoffel symbolen zijn allemaal nul in een Minkowski ruimte. Er is immers geen zwaartekracht/geen kromming in ruimtetijd.
Dus ben erg benieuwd naar Flappelap zijn uitleg.
Dus ben erg benieuwd naar Flappelap zijn uitleg.
Re: Killing vectoren
Maar trouwens, wat je in je eerste bericht zegt over dat Wikipedia zonder bewijs (afleiding) een killing vectorveld geeft gaat immers ook via de Poincaré metriek.
Maar goed, ik zal me er eerst weer eens even in verdiepen en om me heen vragen .. en ben dus erg benieuwd naar Flappelap zijn uitleg.
Maar goed, ik zal me er eerst weer eens even in verdiepen en om me heen vragen .. en ben dus erg benieuwd naar Flappelap zijn uitleg.
-
- Berichten: 1.243
Re: Killing vectoren
De Killing vergelijkingen zijn in het algemeen
\(
\partial_{\mu}\xi_{\nu} + \partial_{\nu}\xi_{\mu} + 2 \Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\xi_{\lambda} = 0
\)
De christoffel symbolen voor onze Poincare metriek die ongelijk aan nul zijn, zijn\(
\Gamma^{x}_{yx} = \frac{-1}{y}, \ \ \ \Gamma^{y}_{xx} = \frac{1}{y}, \ \ \ \Gamma^{y}_{yy} = \frac{-1}{y}
\)
De drie Killing vergelijkingen worden dan\(
\partial_{x}\xi_{x} + \frac{1}{y}\xi_y = 0 \\
\partial_{y}\xi_{y} - \frac{1}{y}\xi_y = 0 \\
\partial_{x}\xi_{y} + \partial_{y}\xi_{x} - \frac{2}{y}\xi_y = 0 \)
Nu ga ik me er even makkelijk van afmaken: je kunt vrij eenvoudig inzien dat de volgende vector deze differentiaalvergelijkingen oplost:\partial_{y}\xi_{y} - \frac{1}{y}\xi_y = 0 \\
\partial_{x}\xi_{y} + \partial_{y}\xi_{x} - \frac{2}{y}\xi_y = 0 \)
\(
\xi_{\mu} = (1,0)
\)
En zoals je zegt klopt dat ook: als je in de x-richting beweegt, dan veranderen de componenten van de metriek immers niet. De andere oplossingen laat ik je zelf maar even vinden; dit is volgens mij een maximaal symmetrische ruimte, dus zouden er 1/2*2*3=3 Killing vectoren moeten zijn (vergelijk de Euclidische ruimte in 2 dimensies: daar heb je 2 ruimtelijke translaties en 1 rotatie, dus ook 2+1=3 Killing vectoren).