Derdegraadsfunctie en een lijn

[Beau96]

Hi Lieve wetenschapsforummers, ik heb een probleem waar ik niet verder geraak. Het is een wiskundige denkactiviteit op hbo-niveau (lerarenopleiding wiskunde 3j)

we hebben de functie f(x) = x³-5x²+5x+4 en het punt op f(x) genaamd P(5,29).

er is dus een lijn k waarvoor geldt dat hij P snijdt en een ander punt op f(x), Q, Raakt. Rommelen met geogebra heeft mij het punt (0,4) gegeven. ik moet echter exact aantonen wat de coordinaten van dit punt zijn en niet in GG.


nu dacht ik het te kunnen doen door een algemene formule op te stellen van lijnen door het punt P. ik kwam tot de volgende formule; y= (29-b)x/5 + b. hier kwam ik echter niet verder mee.

hoe zou iemand van jullie dit oplossen?

met wiskundige groet en tot sinus,

Beau

[RedCat]

Snij de lijn die je gevonden hebt met de derdegraads functie:
(29-b)x/5 + b = x³-5x²+5x+4
x³ - 5x² + (5-(29-b)/5) x + 4-b = 0
x³ - 5x² + (25/5 + (b-29)/5) x + 4-b = 0
x³ - 5x² + ((b-4)/5) x + 4-b = 0
Punt P levert 1 oplossing hiervan: x=5, deel de oplossing (x-5) uit bovenstaand resultaat:
(x³ - 5x² + ((b-4)/5) x + 4-b) / (x-5) = x² + (b-4)/5
Deze laatste uitdrukking levert de overige 2 oplossingen, die aan elkaar gelijk moeten zijn omdat de lijn k de grafiek van f raakt:
x² + (b-4)/5 = 0
Voor welke b is er 1 oplossing voor x (ofwel: 2 gelijke oplossingen voor x) ?
En wat is x (= de x-coordinaat van Q) in dat geval ?
En wat is dan de y-coordinaat van Q ?

[ukster]

tek1.png (11.7 KiB) 773 keer bekeken

1.png (7.87 KiB) 773 keer bekeken

2.png (6.81 KiB) 773 keer bekeken

tek2.png (12.35 KiB) 773 keer bekeken