bewijs

[ukster]

bewijs:

Bewijs.png (2.69 KiB) 1526 keer bekeken

Kan het bewijs alleen geleverd worden via de integraalvorm ?

integraalvorm.png (961 Bytes) 1526 keer bekeken

[tempelier]

Nee.

Wat bedoel je met -1? de inverse 0f de reciproke (wat correctt zou zijn)

Probeer dit eens.

De afgeleide moet 0 zijn.

[ukster]

Wat bedoel je met -1? de inverse 0f de reciproke (wat correctt zou zijn)

de inverse functie (dus arctan)

[tempelier]

Puntje en ik vinden dat een incorrecte notatie, maar dat is een andere discussie.

Blijft zo dat als je differentieert het rechter lid nul moet zijn.
Hierdoor wordt de vergelijking algebraïsch.

[Xilvo]

Blijft zo dat als je differentieert het rechter lid nul moet zijn.

Wat wil je waarnaar differentiëren? Ik zie geen variabele.

[wnvl1]

Links en rechts tangens nemen.
En dan heel dikwijls toepassen van

$$\tan (x+y) = \frac{\tan(x)+tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)} $$
$$\tan (2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} $$
$$\tan (\arctan(x))=x$$

Zo ga je dat altijd wel kunnen bewijzen.
Dat is nu wel niet echt een mooi bewijs.

[wnvl1]

Hoe werkt trouwens het bewijs via die integraalvorm?

[ukster]

ik vond deze gelijkheid.

gelijkheid.png (1.96 KiB) 1397 keer bekeken

En dan de 5 componenten van de te bewijzen uitdrukking onderbrengen in 1 integraal van 0 tot 1 met π als resultaat.
Maar is dat een geldig bewijs?

[wnvl1]

Dan krijg je een bepaalde integraal met 5 breuken, en dan?

[ukster]

met π als resultaat

[RedCat]

Alternatief:

Herschrijf de vergelijking:

\(\small \frac{\pi}{4} = 32 \tan^{-1}\left( \frac{1}{40} \right) - \tan^{-1}\left( \frac{1}{239} \right) - 4\tan^{-1}\left( \frac{1}{515} \right)-8\tan^{-1}\left( \frac{1}{4030} \right)-16\tan^{-1}\left( \frac{1}{32060} \right)\)

Pas rechts op elke term herhaald de verdubbelingsformule toe
(resp. 5, 0, 2, 3 en 4 keer op elk van de termen):

\(\small 2\tan^{-1}\left( \frac{a}{b} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{2ab}{b^2-a^2} \right) \)

Trek tenslotte rechts alle termen samen met

\(\small \tan^{-1}\left( \frac{a}{b} \right) + \tan^{-1}\left( \frac{c}{d} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{ad+bc}{bd-ac} \right) \)

Dat levert:

\(\small \frac{\pi}{4} = \tan^{-1}\left( 1 \right)\)

[ukster]

Dan krijg je een bepaalde integraal met 5 breuken, en dan?

pi.png (3.77 KiB) 1308 keer bekeken

[wnvl1]

@ukster Maar dan is de vraag hoe reken die integraal uit zonder terug te passeren via de arctangensen uit de initiele oefening? Nu lost je reken pakket het probleem op voor jou.

Misschien biedt complexe analyse hiervoor wel een uitweg...
https://nl.wikipedia.org/wiki/Residu_(functietheorie)