Leibniz had it wrong?

Moderators: Michel Uphoff, Jan van de Velde

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Volgende vraag: is er een probleem met het differentiëren van zulke functies?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Leibniz had it wrong?

Ik denk dat het wel van belang is dat de tussenwaardestelling betrekking heeft op de reële getallen en niet van toepassing is in Q.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Inderdaad - want als dat wel zo was dan zouden de gevonden voorbeeldfuncties niet enkel en alleen transcendente functiewaarden kunnen hebben.

Het definiëren van afgeleiden voor functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) lijkt mij niet problematisch. Je hoeft enkel maar het domein tot de rationale getallen in te perken, maar limieten laten zich verder gewoon definiëren.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Leibniz had it wrong?

Sorry, laat maar. Ik had een heel deel van de laatste berichten niet gezien.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Vervolgens kunnen we dit proberen:

Definieer de functieklasse \( \mathbb{D}^0 \) als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben. En definieer verder dan de functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) waarvoor de n-de afgeleide bestaat en een element van \( \mathbb{D}^0 \) is.

Maar ik weet niet of dat zo interessante functieklassen worden, en of die in wiskunde al eens onder de loep zijn genomen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: ma 06 dec 2021, 17:22 Volgende vraag: is er een probleem met het differentiëren van zulke functies?
Nee. Althans, ik zie geen enkel probleem.

De afgeleide is gedefinieerd via optellen, aftrekken, delen, en het nemen van een limiet naar 0. Al die operaties zijn gewoon netjes gedefinieerd voor functies van \(\mathbb{Q}\) naar \(\mathbb{R}\). En dat de functiewaarden allemaal transcendentaal zijn doet er ook niet toe.

Berichten: 3.869

Re: Leibniz had it wrong?

Ik probeer te snappen wat het probleem is maar vind geen enkel aanknopingspunt. kan iemand eens samenvatten waar dit nu over gaat?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Dit is wiskundige spielerei zonder technische toepassingen. De probleemstelling is naar aanleiding van een droom geleidelijk aan tot stand gekomen en heeft (tot nu toe) geresulteerd in onderstaande exacte formulering:
Professor Puntje schreef: ma 06 dec 2021, 23:13 Vervolgens kunnen we dit proberen:

Definieer de functieklasse \( \mathbb{D}^0 \) als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben. En definieer verder dan de functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) waarvoor de n-de afgeleide bestaat en een element van \( \mathbb{D}^0 \) is.

Maar ik weet niet of dat zo interessante functieklassen worden, en of die in wiskunde al eens onder de loep zijn genomen.
Dat kun je voorlopig ook als samenvatting van de probleemstelling beschouwen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: di 07 dec 2021, 11:36
Professor Puntje schreef: ma 06 dec 2021, 23:13 Vervolgens kunnen we dit proberen:

Definieer de functieklasse \( \mathbb{D}^0 \) als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben. En definieer verder dan de functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) waarvoor de n-de afgeleide bestaat en een element van \( \mathbb{D}^0 \) is.

Maar ik weet niet of dat zo interessante functieklassen worden, en of die in wiskunde al eens onder de loep zijn genomen.
Dat kun je voorlopig ook als samenvatting van de probleemstelling beschouwen.
Probleemstelling? Ik zie helemaal geen probleemstelling. Ik zie hier alleen maar een definitie.

Kortom, het is mij ook nog altijd niet duidelijk waar je nou precies naartoe wil met dit topic.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Dat is mij ook nog niet duidelijk. Het is nu nog een verkenningstocht. Best mogelijk dat dit nergens toe leidt. Maar wat ik mij op dit moment dus afvraag is of de boven gedefinieerde functieklassen wiskundig interessant zijn, en zo ja of ze binnen de wiskunde al bekend en onderzocht zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: di 07 dec 2021, 17:16 Maar wat ik mij op dit moment dus afvraag is of de boven gedefinieerde functieklassen ... binnen de wiskunde al bekend en onderzocht zijn.
Ik heb geen flauw idee...

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Goed - dank zover. :)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: ma 06 dec 2021, 17:12 Bijvoorbeeld:
\( f(q) = (1 +q^2) \cdot \pi \)
We hebben dan \( f \) als de afgeleide van \( \mathrm{F}(q) = \left (q + \frac{1}{3} q^3 \right ) \cdot \pi \) . Maar F heeft een nulpunt en dus één of meer niet-transcendente functiewaarden. :?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Leibniz had it wrong?

Dan neem je \(e^{e^q}\)?
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Marko schreef: wo 08 dec 2021, 09:52 Dan neem je \(e^{e^q}\)?
Als element van welke functieklasse?

Reageer