Leibniz had it wrong?

Moderators: Michel Uphoff, Jan van de Velde

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

De afgeleide van \( e^{e^q} \) is \( e^{e^q} e^q = e^{e^q + q} \). De vraag is dan of die afgeleide voor alle rationale q transcendent is.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Leibniz had it wrong?

Misschien kan dat op dezelfde manier als het bewijs dat e transcendent is.

Of anders: (q^2+1)e(q^2+1)?
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... 29%29%2Fdx

Gaat dus door nul. Het kan ook nog zijn dat \( \mathbb{D}^1 \) leeg is. En dan zijn we gelijk klaar, want dan is het verder wiskundig oninteressant. Zou wel zo makkelijk zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Leibniz had it wrong?

Helemaal leeg denk ik niet. Bijvoorbeeld:
\((q^2+\sqrt{2})e^{q^2+q+1}\)
heeft als afgeleide
\((2q^3+q^2+2(1+\sqrt{2})q+\sqrt{2})e^{q^2+q+1}\)
En die heeft wel een reëel nulpunt, maar dat is een irrationaal getal.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Dat ziet er beter uit, maar dan zitten we nog wel met de vraag of die afgeleide voor alle rationale q transcendente functiewaarden heeft. Als ik het goed zie heb je dan een algebraïsch getal maal een transcendent getal.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

https://math.stackexchange.com/question ... scendental

Het ziet er naar uit dat het laatste voorbeeld van Marko voldoet.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Zou er een bewerking bestaan die uit twee functies f en g uit \( \mathbb{D}^1 \) weer nieuwe van f en g verschillende functies h vormt die ook weer in \( \mathbb{D}^1 \) zitten? Zo ja - dan zouden we op dit alles mogelijk wat meer greep kunnen krijgen.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: do 09 dec 2021, 22:50 Zou er een bewerking bestaan die uit twee functies f en g uit \( \mathbb{D}^1 \) weer nieuwe van f en g verschillende functies h vormt die ook weer in \( \mathbb{D}^1 \) zitten? Zo ja - dan zouden we op dit alles mogelijk wat meer greep kunnen krijgen.
Ik kan niets interessants (niet triviaals) bedenken. Wat wel kan is functies f uit \( \mathbb{D}^1 \) met algebraïsche constanten ongelijk nul combineren om weer nieuwe van f verschillende functies g te vormen die ook weer in \( \mathbb{D}^1 \) zitten. Bijvoorbeeld zitten f + a en a.f ook weer in \( \mathbb{D}^1 \) als f in \( \mathbb{D}^1 \) zit en a een algebraïsche constante ongelijk nul is.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: wo 08 dec 2021, 16:16 De afgeleide van \( e^{e^q} \) is \( e^{e^q} e^q = e^{e^q + q} \). De vraag is dan of die afgeleide voor alle rationale q transcendent is.
Het ziet ernaar uit dat dit bij de huidige stand van onze wiskundige kennis niet te beantwoorden is. Zie: https://math.stackexchange.com/question ... 51_4328222 Maar om concreet te bepalen wat er precies in \( \mathbb{D}^1 \) zit moeten we dat wel weten. Dus lopen we hier vast.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Het topic op stackexchange is nu ook gesloten omdat men het niet vindt voldoen aan de daar geldende kwaliteitseisen. Kennelijk moet het aansluiten op lopend onderzoek. Ik vraag mij af waar een serieuze wiskunde hobbyist nu nog wel terecht kan...

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: do 09 dec 2021, 14:20 Dat ziet er beter uit, maar dan zitten we nog wel met de vraag of die afgeleide voor alle rationale q transcendente functiewaarden heeft. Als ik het goed zie heb je dan een algebraïsch getal maal een transcendent getal.
Dat was inderdaad de constructie. Gezien \(e^{q^2+q+1}\) rationaal is moet \(e^{q^2+q+1}\) transcendent zijn. Vervolgens vermenigvuldigen met een algebraïsche functie die geen rationaal nulpunt heeft.

Dit zou ook moeten werken voor andere functies en hoeft niet beperkt te zijn tot e-machten. Machten van π (denk ik) ook, en ook functies van de vorm \(q^{\sqrt{2}}\) (rationaal getal verheven tot een irrationale macht). Alleen dan zorgen dat je 0 en 1 ontwijkt.

Zo kom je in ieder geval aan een aantal functies die in je functieklassen kunnen zitten. De uitdaging zal in de combinaties zitten, want de som van 2 transcendente getallen is niet per se transcendent, en het product ook niet (en het verschil en quotiënt dus ook niet)
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Al proberende kun je zo een en ander vinden, maar er blijven veel functies over waarvoor bij de huidige stand van de kennis niet valt uit te maken of ze al dan niet tot \( \mathbb{D}^1 \) behoren. Dat maakt de theorievorming over dergelijke functieklassen problematisch. Aan de andere kant is voor veel irrationale getallen ook nog onbekend of ze transcendent zijn, zonder dat dat als een diskwalificatie van de transcendente getallentheorie wordt gezien. Ik moet er nog eens over nadenken of dit zo wel zin heeft. In elk geval schiet mijn huidige kennis van de transcendente getallentheorie ernstig tekort om daar nu zelf veel verder mee te komen.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: ma 06 dec 2021, 23:13 Definieer de functieklasse \( \mathbb{D}^0 \) als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben. En definieer verder dan de functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) waarvoor de n-de afgeleide bestaat en een element van \( \mathbb{D}^0 \) is.
Bij nader inzien denk ik dat het nog ietsjes eleganter kan:

Definieer de functieklasse \( \mathbb{D}^0 \) als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben. En definieer verder dan de functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal als de verzameling van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben en waarvoor de n-de afgeleide bestaat en een element van \( \mathbb{D}^0 \) is.

Zo hebben we per definitie voor alle functieklassen \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal dat: \( \mathbb{D}^n \subseteq \, \mathbb{D}^0 \) .

De vraag kan dan gesteld worden of ook voor alle positieve natuurlijke getallen n en m met m < n geldt dat: \( \mathbb{D}^n \subseteq \, \mathbb{D}^m \) .

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Ook is het de vraag of er positieve natuurlijke getallen n bestaan waarvoor \( \mathbb{D}^n \) leeg is.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Leibniz had it wrong?

Voor de functie die ik eerder noemde
\((q^2+\sqrt{2})e^{q^2+q+1}\)
is de afgeleide
\((2q^3+q^2+2(1+\sqrt{2})q+\sqrt{2})e^{q^2+q+1}\)
De tweede afgeleide is
\((4q^4+4q^3+(9+2\sqrt{2})q^2+(3+3\sqrt{2})q+1+2\sqrt{2})e^{q^2+q+1} \)
Ook daarvan kun je aantonen dat er geen rationale wortels zijn.

Ik weet eerlijk gezegd niet of dit een algemeenheid is? Heeft een polynoom met irrationale coëfficiënten per definitie geen rationale wortels? In dat geval ben je snel klaar, want dan zou voor alle verdere afgeleiden ook gelden dat die geen rationale nulpunten hebben. En dat was de voorwaarde om enkel trancendente functiewaarden op te leveren.

Met andere woorden, dan zijn er geen natuurlijk getallen waarvoor \mathbb{D}^n leeg is.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Reageer