Leibniz had it wrong?

Moderators: Michel Uphoff, Jan van de Velde

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

De natuurlijke logaritme en de W-functie hebben een vergelijkbaar probleem. Hier een verbeterde versie:

Laten we voor de verzameling der transcendente reële getallen het symbool \( \mathbb{T} \), voor de verzameling der algebraïsche reële getallen het symbool \( \mathbb{A} \), en voor de verzameling der positieve algebraïsche reële getallen het symbool \( \mathbb{A}^+ \) gebruiken. Dan kunnen we schrijven:

\( a \in \mathbb{A} \backslash \{0\} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, e^a \in \mathbb{T} \)

\( a \in \mathbb{A}^+ \backslash \{1\} \,\, \& \,\, b \in \mathbb{A} \backslash \mathbb{Q} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, a^b \in \mathbb{T} \)

\( a \in \mathbb{A} \backslash \{0\} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \sin(a), \cos(a), \tan(a) \in \mathbb{T} \)

\( a \in \mathbb{A} \backslash \{0\} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \sinh(a), \cosh(a), \tanh(a) \in \mathbb{T} \)

\( a \in \mathbb{A}^+ \backslash \{1 \} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \ln(a) \in \mathbb{T} \)

\( a \in \mathbb{A}^+ \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mathrm{W}(a) \in \mathbb{T} \)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

De volgende belangrijke regel moet er ook nog bij:
regel.jpeg
Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Transcend ... Properties

Gebruikersavatar
Berichten: 2.848

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: vr 07 jan 2022, 10:57
Professor Puntje schreef: do 06 jan 2022, 10:35 Numbers proven to be transcendental:

• ab where a is algebraic but not 0 or 1, and b is irrational algebraic
Klopt die wel? Wat is bijvoorbeeld (-1)√2 ? Wolfram Alpha geeft een complex getal: https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... %282%29%7D
Waarom zou dat een probleem zijn? Een transcendentaal getal kan best een niet-reëel complex getal zijn.

Als je de eerste paragraaf van die wiki pagina leest, dan zie je dat ze transcendentale getallen definieren als een deelverzameling van de complexe getallen.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

Dat is een keuze die we moeten maken, gaan we door op het spoor van de reële getallen en functies of mogen complexe getallen en functies ook. Hoe ik dat nu zie is dat het met reële getallen en functies al moeilijk genoeg is, maar best mogelijk dat iemand die goed is ingevoerd in de complexe functietheorie dat heel anders ziet.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

Met de laatste regel erbij:

Laten we voor de verzameling der transcendente reële getallen het symbool \( \mathbb{T} \), voor de verzameling der algebraïsche reële getallen het symbool \( \mathbb{A} \), en voor de verzameling der positieve algebraïsche reële getallen het symbool \( \mathbb{A}^+ \) gebruiken. De verzameling der niet-constante algebraïsche functies van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) met één variabele noteren we als \( \mathcal{A} \). Zo kunnen we dan schrijven:
\(\)
\( a \in \mathbb{A} \backslash \{0\} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, e^a \in \mathbb{T} \)
\(\)
\( a \in \mathbb{A}^+ \backslash \{1\} \,\, \& \,\, b \in \mathbb{A} \backslash \mathbb{Q} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, a^b \in \mathbb{T} \)
\(\)
\( a \in \mathbb{A} \backslash \{0\} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \sin(a), \cos(a), \tan(a) \in \mathbb{T} \)
\(\)
\( a \in \mathbb{A} \backslash \{0\} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \sinh(a), \cosh(a), \tanh(a) \in \mathbb{T} \)
\(\)
\( a \in \mathbb{A}^+ \backslash \{1 \} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \ln(a) \in \mathbb{T} \)
\(\)
\( a \in \mathbb{A}^+ \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mathrm{W}(a) \in \mathbb{T} \)
\(\)
\( a \in \mathbb{T} \,\, \& \,\, h \in \mathcal{A} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, h(a) \in \mathbb{T} \)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

Nu toegepast op functies:

Laten we voor de verzameling der transcendente reële getallen het symbool \( \mathbb{T} \), voor de verzameling der algebraïsche reële getallen het symbool \( \mathbb{A} \), en voor de verzameling der positieve algebraïsche reële getallen het symbool \( \mathbb{A}^+ \) gebruiken. De verzameling der niet-constante algebraïsche functies van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) met één variabele noteren we als \( \mathcal{A} \). Tenslotte staan \( e^f , f^b , a^g , f^g \) voor: \( [e^f](x) = e^{f(x)} , [f^b](x) = (f(x))^b \) , \( [a^g](x) = a^{g(x)} \) en \( [f^g](x) = (f(x))^{g(x)} \). Voor alle functies \( f \) en \( g \) van \(\mathbb{Q} \) naar \(\mathbb{R} \) en functies \( h \) van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) geldt dan dat:
\(\)
\( f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{A} \backslash \{0\} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, [e^{f}](\mathbb{Q}) \subset \mathbb{T} \)
\(\)
\( f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{A}^+ \backslash \{1\} \,\, \& \,\, b \in \mathbb{A} \backslash \mathbb{Q} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, [f^b](\mathbb{Q}) \subset \mathbb{T} \)
\(\)
\( a \in \mathbb{A}^+ \backslash \{1\} \,\, \& \,\, g(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{A} \backslash \mathbb{Q} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, [a^g]( \mathbb{Q} ) \subset \mathbb{T} \)
\(\)
\( f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{A}^+ \backslash \{1\} \,\, \& \,\, g(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{A} \backslash \mathbb{Q} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, [f^g]( \mathbb{Q} ) \subset \mathbb{T} \)
\(\)
\( f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{A} \backslash \{0\} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \sin(f(\mathbb{Q})), \cos(f(\mathbb{Q})), \tan(f(\mathbb{Q})) \subset \mathbb{T} \)
\(\)
\( f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{A} \backslash \{0\} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \sinh(f(\mathbb{Q})), \cosh(f(\mathbb{Q})), \tanh(f(\mathbb{Q})) \subset \mathbb{T} \)
\(\)
\( f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{A}^+ \backslash \{1 \} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \ln(f(\mathbb{Q})) \subset \mathbb{T} \)
\(\)
\( f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{A}^+ \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mathrm{W}(f(\mathbb{Q})) \subset \mathbb{T} \)
\(\)
\( f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{T} \,\, \& \,\, h \in \mathcal{A} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, h(f(\mathbb{Q})) \subset \mathbb{T} \)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

Nu zitten we nog met de kwestie van de differentieerbaarheid voor functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \). Ik ben er nog niet gerust op dat we daarvoor zonder meer de gebruikelijke rekenregels mogen overnemen. Is dat ergens na te zoeken, of is dat een kwestie van de bekende bewijzen maar nu voor functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) nog eens na te lopen?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.848

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: za 08 jan 2022, 16:24 of is dat een kwestie van de bekende bewijzen maar nu voor functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) nog eens na te lopen?
Dat ja.

Misschien is er wel ergens iets over te vinden, maar in principe zou je dit zelf gewoon moeten kunnen controleren door de bewijzen na te lopen.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

STELLING. Laat \( f \) een functie van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) zijn waarvoor geldt: \( \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \mathrm{L} \), dan geldt ook voor de restrictie \( f | \mathbb{Q} \) van \( f \) tot \( \mathbb{Q} \) dat: \( \lim\limits_{x \rightarrow a} [ f| \mathbb{Q} ](x) = \mathrm{L} \) .

BEWIJS. Laat \( f \) een functie van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) zijn waarvoor geldt: \( \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \mathrm{L} \).

Dan bestaat er voor iedere reële \( \epsilon > 0 \) een reële \( \delta > 0 \) zodat \( | f(x) - L | < \epsilon \) voor reële x die voldoen aan \( |x - a| < \delta \).

Dus bestaat er dan zeker ook voor iedere rationale \( \epsilon > 0 \) een reële \( \delta > 0 \) zodat \( | f(x) - L | < \epsilon \) voor reële x die voldoen aan \( |x - a| < \delta \).

Maar als er een reële \( \delta > 0 \) bestaat dan is er ook een rationale \( \delta' \) met \( \delta > \delta' > 0 \).

Er bestaat dan dus ook voor iedere rationale \( \epsilon > 0 \) een rationale \( \delta' > 0 \) zodat \( | f(x) - L | < \epsilon \) voor reële x die voldoen aan \( |x - a| < \delta' \).

Maar dan geldt ook zeker dat er voor iedere rationale \( \epsilon > 0 \) een rationale \( \delta' > 0 \) bestaat zodat \( | f(x) - L | < \epsilon \) voor rationale x die voldoen aan \( |x - a| < \delta' \).

Bijgevolg geldt dan ook voor de restrictie \( f | \mathbb{Q} \) van \( f \) tot \( \mathbb{Q} \) dat: \( \lim\limits_{x \rightarrow a} [ f| \mathbb{Q} ](x) = \mathrm{L} \) .

Q.E.D.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.848

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: zo 09 jan 2022, 11:17 STELLING. Laat \( f \) een functie van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) zijn waarvoor geldt: \( \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \mathrm{L} \), dan geldt ook voor de restrictie \( f | \mathbb{Q} \) van \( f \) tot \( \mathbb{Q} \) dat: \( \lim\limits_{x \rightarrow a} [ f| \mathbb{Q} ](x) = \mathrm{L} \) .

BEWIJS.
...
Q.E.D.
correct!

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

Als het goed is kun je via die stelling en de omweg via differentieerbare functies van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) nu de bekende rekenregels van de reële differentiaalrekening ook voor functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) gebruiken. Maar voor de meer exotische differentieerbare functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die zelf geen restrictie van differentieerbare functies van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) zijn gaat dat niet meer op. Voorzichtigheid blijft dus geboden.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

STELLING. Laat \( f \) een differentieerbare functie van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) zijn met afgeleide \( f' \), dan is ook de restrictie \( f | \mathbb{Q} \) differentieerbaar met afgeleide \( [f| \mathbb{Q}]' = f' | \mathbb{Q} \).

BEWIJS. Laat \( f \) een differentieerbare functie van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) zijn met afgeleide \( f' \). Voor iedere reële x hebben we dan: \( \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x) \).

Bijgevolg hebben we voor iedere rationale x ook dat:
\(\)
\( \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x) \)
\( \lim\limits_{h \rightarrow 0} \left ( \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} - f'(x) \right ) = 0 \)
\(\)
Definieer nu voor alle rationale x de functie \( g_x \) van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) als:
\( g_x(h) = \left \{ \begin{array}{l} \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} - f'(x) & \mbox{voor} \,\, h \neq 0 \\ 0 & \mbox{voor} \,\, h = 0 \end{array} \right. \)
(De functie \( g_x \) heeft als rationale parameter x en als reëel argument h.)

Vervolgens hebben we dan ook dat:
\( [g_x | \mathbb{Q} ](h) = \left \{ \begin{array}{l} \frac{ f(x+h) - f(x)}{h} - f'(x) & \mbox{voor} \,\, h \in \mathbb{Q} \,\, \& \,\, h ≠ 0 \\ 0 & \mbox{voor} \,\, h=0 \end{array} \right. \)
(De restrictie van \( g_x \) tot \( \mathbb{Q} \) heeft dus zowel een rationale parameter x als een rationaal argument h.)

Bijgevolg mogen we ook schrijven:
\( [g_x | \mathbb{Q} ](h) = \left \{ \begin{array}{l} \frac{ [f | \mathbb{Q} ](x+h) - [f | \mathbb{Q} ](x)}{h} - [f' | \mathbb{Q} ](x) & \mbox{voor} \,\, h \in \mathbb{Q} \, \& \, h ≠ 0 \\ 0 & \mbox{voor} \,\, h=0 \end{array} \right. \)
\(\)
Wegens \( \lim\limits_{h \rightarrow 0} g_x(h) = 0 \) en de eerder bewezen stelling krijgen we dan:

\( \lim\limits_{h \rightarrow 0} [g_x | \mathbb{Q} ](h) = 0 \)

En dus vinden we voor alle rationale x dat:
\(\)
\( \lim\limits_{h \rightarrow 0} \left ( \frac{ [f | \mathbb{Q} ](x+h) - [f | \mathbb{Q} ](x)}{h} - [f' | \mathbb{Q} ](x) \right ) = 0 \)
\(\)
\( \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{ [f | \mathbb{Q} ](x+h) - [f | \mathbb{Q} ](x)}{h} \, = \, [f' | \mathbb{Q} ](x) \)
\(\)
\( [f | \mathbb{Q} ]' (x) \, = \, [f' | \mathbb{Q} ](x) \)
\(\)
Oftewel: \( [f | \mathbb{Q} ]' \, = \, f' | \mathbb{Q} \)

Q.E.D.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

De volgende definitie ligt nu voor de hand:

Een grondfunctie \( f \) noemen we restrictief precies dan wanneer er een continue functie \( g \) van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) bestaat zodanig dat \( f = g | \mathbb{Q} \).

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: ma 03 jan 2022, 01:52 De volgende vraag is dan of er een oneindige rijmatrix M van enen en nullen bestaat zodanig dat er geen grondfunctie \( f \) is waarvoor \( \mathrm{ar}(f) = \mathrm{M} \).
Deze vraag is al beantwoord, maar dat geldt niet voor de aangescherpte vraag of er een oneindige rijmatrix M van enen en nullen bestaat zodanig dat er geen restrictieve grondfunctie \( f \) is waarvoor \( \mathrm{ar}(f) = \mathrm{M} \).

Gebruikersavatar
Berichten: 7.428

Re: Leibniz had it wrong?

Hiermee zijn mijn ideeën voor dit topic (voorlopig?) uitgeput. Dank aan Marko en Math-E-Mad-X voor de reacties.

Reageer