vergelijkingen

[ukster]

1/a+1/b+1/c=6
a²+b²+c²=60
a+b+c= -12

a³+b³+c³ = ?

[ukster]

de uitdaging is de oplossing te vinden zonder eerst de variabelen a,b,c te berekenen

[RedCat]

[1] → bc + ac + ab = 6abc [4]
(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc [5]
[2,3,4,5] → (-12)² = 60 + 12abc → abc = 7 [6]
[4,6] → ab + ac + bc = 42 [7]
(a+b+c)*(ab+ac+bc) = a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc² + 3abc [8]
[8,7,6] → (-12)*(42) = a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc² + 21 → a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc² = -525

Voeg tenslotte alles samen:
(a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3*(a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc²) + 6abc
a³ + b³ + c³ = (a+b+c)³ - 3*(a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc²) - 6abc = (-12)³ - 3*(-525) - 6*7 = -195

(het zijn lange formules met veel exponenten, kijk s.v.p. zelf nog even of ik de hele boekhouding op orde heb)

[Xilvo]

de uitdaging is de oplossing te vinden zonder eerst de variabelen a,b,c te berekenen

Maar is er wel een oplossing voor (reële) a, b en c?

[ukster]

[1] → bc + ac + ab = 6abc [4]
(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc [5]
[2,3,4,5] → (-12)² = 60 + 12abc → abc = 7 [6]
[4,6] → ab + ac + bc = 42 [7]
(a+b+c)*(ab+ac+bc) = a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc² + 3abc [8]
[8,7,6] → (-12)*(42) = a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc² + 21 → a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc² = -525

Voeg tenslotte alles samen:
(a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3*(a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc²) + 6abc
a³ + b³ + c³ = (a+b+c)³ - 3*(a²b + a²c + ab² + b²c + ac² + bc²) - 6abc = (-12)³ - 3*(-525) - 6*7 = -195

(het zijn lange formules met veel exponenten, kijk s.v.p. zelf nog even of ik de hele boekhouding op orde heb)

Je boekhouding is volledig op orde:)

vergelijkingen.png (8.78 KiB) 822 keer bekeken

de uitdaging is de oplossing te vinden zonder eerst de variabelen a,b,c te berekenen

Maar is er wel een oplossing voor (reële) a, b en c?

1reële- en een 2 toegevoegd complexe waarden voor a,b,c!

[RedCat]

Maar is er wel een oplossing voor (reële) a, b en c?

1reële- en een 2 toegevoegd complexe waarden voor a,b,c!

Stelsel I (= het oorspronkelijke stelsel) zegt:
[1] ab+ac+bc = 6abc
[2] a² + b² + c² = 60
[3] a+b+c = -12

uit [3], [2] en de algemene gelijkheid
[0] (a+b+c)² = (a²+b²+c²) + 2(ab+ac+bc)
volgt dan
ab+ac+bc = 42
waardoor
abc = 42/6 = 7

Definieer hiermee stelsel II:
[4] a+b+c = -12
[5] ab+ac+bc = 42
[6] abc = 7
Alle oplossingen van dit stelsel zijn ook alle oplossingen van stelsel I
(want [5,6]→[1] en [0,4,5]→[2] en [4]→[3]).

Definieer nu de functie f(x):
f(x) := (x-a)(x-b)(x-c) = x³ - (a+b+c)x² + (ab+ac+bc)x - abc = x³ + 12x² + 42x - 7
De nulpunten van f(x) zullen een oplossing geven voor a, b of c:

x³ + 12x² + 42x - 7 = 0

x₁ = 0.15931829309876890...
x₂ = -6.07965914654938445... - 2.64101240009954... i
x₃ = -6.07965914654938445... + 2.64101240009954... i

Ken aan a (de keuze a, b of c is vrij wegens de symmetrie van het stelsel) één van deze oplossingen toe:
- indien a = x₁, dan volgen uit [4] en [6] de waarden van b en c
- indien a = een complexe waarde, ken dan aan b de geconjugeerde toe, c volgt uit [4]
(het zal geen grote verbazing zijn dat b en c in beide gevallen de overige oplossingen van x krijgen).

[RedCat]

Stelsel II:
[4] a+b+c = -12
[5] ab+ac+bc = 42
[6] abc = 7

Of veel eenvoudiger:
[4]→ b+c = -12-a
[6]→ bc = 7/a
substitutie in [5]:
a(b+c) + bc = 42
a(-12-a) + 7/a = 42
a²(-12-a) + 7 = 42a
a³ + 12a² + 42a - 7 = 0