gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

[Xilvo]

Je kunt prima van het middelpunt uitgaan maar dat hoeft inderdaad niet, als je maar hetzelfde als nulpunt kiest voor de gravitatiepotentiaal aan de pool en aan de evenaar. Het is tenslotte een conservatief veld dus de weg doet er niet toe.
Als je niet van het middelpunt uitgaat hoef je evenmin moeilijk naar het aardoppervlak te integreren door lagen met verschillende dichtheden. Maar je moet, ook als je vanuit het oneindige komt, rekening houden met de vorm van de aarde.

Ik bedoelde inderdaad een verloop als in figuur (a).

[wnvl1]

Code: Selecteer alles

from scipy.optimize import fsolve

rp = 6356752
re = 6378137
m = 5.97e24
G = 6.67e-11
w = 7.2722e-5


def func(x):
    return [(-G * m / rp) - (((-G * m / x[0]) - (x[0] * w) ** 2) / 2)]


root = fsolve(func, [rp])
print(root)

Mijn python code. De functie die ik nul wil maken is de potentiaal op de noordpool min de potentiaal op de evenaar. De eerste schatting voor de straal op de evenaar is de straal op de noordpool.

Rotslecht resultaat. Ik kom ongeveer de helft uit van wat het moet zijn.

[3179733.09026654]

[Xilvo]

Ja, die factor twee kreeg ik ook niet weg

Ik kom niet op een bevredigend resultaat. In de goede orde-grootte, maar zomaar een factor 2 fout.

Als je bijvoorbeeld met \(V=-\frac{G m}{R}\) de potentialen uitrekent voor de pool en de evenaar ^* ) (met de respectieve stralen) dan kom je op:
Pool: -6,26893E7 J/kg
Evenaar: -6,24791E7 J/kg
Het verschil, -2,102E5 J/kg, (die natuurlijk wel t.o.v. het middelpunt berekend) is twee keer zo groot als de potentiaal door de centrifugale kracht \(\frac{1}{2}\omega^2 R^2\), 1,076E5 J/kg.

^* ) Je voelt op je klompen dat dat te simpel is

[wnvl1]

Het zou natuurlijk ook kunnen zijn dat onze berekening wiskundig "juist" is, maar dat er nog iets anders speelt op het vlak van de fysica met betrekking tot de stand van het water op aarde waar wij niet direct weet van hebben. Ik kan mij nog heel wat effecten inbeelden, maar het is moeilijk om het belang daarvan in te schatten als je geen enkele ervaring hebt met zo'n berekeningen. Het is relatief eenvoudige wiskunde, veel ruimte voor rekenfouten is er niet meer en we kijken er met twee naar.

Maar dan blijft de vraag waarom was jouw andere berekening zo nauwkeurig. Is daar iets mis en geeft dat bij toeval een redelijk nauwkeurig resultaat? De fysica achter jouw eerste berekening lijkt mij echt dezelfde als de fysica achter deze berekening.

[wnvl1]

Nog een bedenking. Als in het filmpje van OOOVincentOOO Jim Al-Khalili zegt dat de tijdsdilatatie op zee niveau over hetzelfde is (ik vermoed niet dat Al-Khalili zich een tweede keer gaat vergissen na het rechtzetten van die fout in zijn app), dan doet dat vermoeden dat de fysica van onze redenering juist is. Andere effecten zie ik niet direct ervoor zorgen dat de tijdsdilatie overal op zeeniveau dezelfde is.

[wnvl1]

Coriolis effecten etc. lijken mij ook allemaal niet relevant als we het water laten stilstaan in het roterend assenstelsel.

[Xilvo]

Ik denk dat die berekening van mij, met dat goede resultaat, behoorlijk betrouwbaar is. De enige fout (afgezien van die door numeriek benaderen) zou kunnen zijn dat de zwaartekracht bij een iets elliptische "bol" niet steeds helemaal exact naar het centrum wijst.
De andere berekeningen, van jou, van mij, gaan toch uit van een bol, niet van een ellipsoide. We passen alleen de straal wat aan als we tussen pool en evenaar switchen.

Ik denk dat alleen (al of niet numeriek) de echte potentiaal van de ellipsoide als functie van de afstand bepalen de enige weg is. Nogal een klus, voor de computer.
Voor de pool kun je de aarde nog in mooie ringen opdelen, voor het verhaal bij de evenaar lukt dat niet meer - in ieder geval niet altijd.

Water moet een equipotentiaalvlak wel volgen. Zoniet, dan staat de kracht niet loodrecht op het oppervlak en gaat het stromen.
Effecten door wind e.d. natuurlijk niet meegenomen. Net als corioliskrachten, wat ik je net zie schrijven, zolang het water niet stroomt. En land stroomt zeker niet. Dat volgt het equipotentiaalvlak wat minder makkelijk, maar het verschil in straal tussen evenaar en pool is ruim 20 km!

Nog een bedenking. Als in het filmpje van OOOVincentOOO Jim Al-Khalili zegt dat de tijdsdilatatie op zee niveau over hetzelfde is (ik vermoed niet dat Al-Khalili zich een tweede keer gaat vergissen na het rechtzetten van die fout in zijn app), dan doet dat vermoeden dat de fysica van onze redenering juist is.

Dat vermoed ik ook, eigenlijk weet ik het zo goed als zeker. Daarom vind ik het ook niet zo interessant veel tijd te steken in een berekening die waarschijnlijk alleen maar onderbouwt wat we toch al weten - of menen te weten

[wnvl1]

Ik denk dat alleen (al of niet numeriek) de echte potentiaal van de ellipsoide als functie van de afstand bepalen de enige weg is. Nogal een klus, voor de computer.
Voor de pool kun je de aarde nog in mooie ringen opdelen, voor het verhaal bij de evenaar lukt dat niet meer - in ieder geval niet altijd.

Ik ga het toch eens doen. Ik kan gebruik maken van de analytische uitdrukkingen hier

https://physics.stackexchange.com/quest ... -ellipsoid

Is niet onoverkomelijk veel werk voor mij om eens te stoppen in python voor noordpool en evenaar en te kijken naar het verschil in potentiaal tussen beiden.

[Xilvo]

Je berekent de potentiaal. Ik dacht te moeilijk, ik dacht aan berekenen van krachten/versnellingen. Dan moet je ook nog eens integereren vanaf "oneindig" tot aan het oppervlak.

Maar dat is dus niet nodig.

Het heeft geen zin dingen dubbelop te doen. Ik ben benieuwd naar wat je eruit krijgt.
Het enige wat nog roet in het eten kan gooien is de niet-uniforme dichtheid van de aarde.

Ik heb wel een bestandje met die informatie. Als je dat nodig hebt...

[HansH]

Dat was me toen niet duidelijk. Wat is de vraag? Of een wateroppervlak een equipotentiaalvlak is? Of dat gravitationele tijddilatatie gelijk is voor punten op een equipotentiaalvlak?

Beiden zijn voor mij duidelijk, dus beiden zijn niet de vraag. het ging om de consequenties hiervan voor het centrifuge effect en de daaruit volgende tijdsdilatatie.

[HansH]

dat is wel een leuke. in een centrifuge gaat het water naar buiten en wil zover mogelijk weg. in een zwaartekrachtsveld wil et water juist zo dicht mogelijk naar de massa toe. Betekent dat dan dat de tijd niet langzamer, maar sneller gaat lopen in een centrifuge?

Wat ik bedoel is dat de conclusie die in het topic is getrokken, nl dat de tijdsdilatatie bepaald is door te integreren over een afstand dan voor het zwaartekrachtsveld van de aarde betekent dat de opbouw van de tijdsdilatatie een teken heeft afhankelijk in welke richting je integreert, maar voor de centriguge is de kracht tegenovergesteld dus zou ik denken dat de integraal en dus de opbouw van de tijddillatatie voor een centrifuge ook een tegengesleld teken heeft tov een zwaartekrachtsveld. Dus als op het aaroppervlak de tijd langzamer loopt dan voor een stilstaande waarnemer buiten ons zonnestelsel zonder zwaartekracht in de buurt, dan zou de tijd voor de meedraaiende wand in de centrifuge dus sneller moeten lopen dan die van de waarnemer die ernaast staat.

[Xilvo]

maar voor de centriguge is de kracht tegenovergesleld dus zou ik denken dat de integraal en dus de opbouw van de tijddillatatie voor een centrifuge ook een tegengesleld teken heeft tov een zwaartekrachtsveld.

Je wordt getrokken in de richting waar de tijd trager loopt. In de centrifuge wordt je naar de buitenkant getrokken, dus zou daar de tijd trager moeten lopen dan in het centrum.

[HansH]

Je wordt getrokken in de richting waar de tijd trager loopt. In de centrifuge wordt je naar de buitenkant getrokken, dus zou daar de tijd trager moeten lopen dan in het centrum.

Dat was dus inderdaad de gedachte die ik poogde met mijn inleidende vraag van do 23 jun 2022, 08:23 als hint ter discussie te brengen.
(maar wat blijkbaar op dat moment niet werd begrepen)

[wnvl1]

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import scipy
from scipy.optimize import fsolve
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad

rp = 6356752
re = 6378137
m = 5.97e24
G = 6.67e-11
w = 7.2722e-5

a = re
b = re
c = rp

def fun(u):
    return (x ** 2 / (a ** 2 + u)) + (y ** 2 / (b ** 2 + u)) + (z ** 2 / (c ** 2 + u)) - 1

def integrand(lam):
    return (1 - (x ** 2 / (a ** 2 + lam)) - (y ** 2 / (b ** 2 + lam)) - (z ** 2 / (c ** 2 + lam))) / (
                ((a ** 2 + lam) * (b ** 2 + lam) * (c ** 2 + lam)) ** 0.5)



################# evenaar
print("evenaar")

x = 0
y = re
z = 0

u_ev = scipy.optimize.fsolve(fun, 10)
u_ev = u_ev[0]
print(u_ev)


t1 = np.linspace(0, 1e15,100000)

print(t1)


plt.figure()
plt.plot(t1, integrand(t1))
plt.show()


print((3 / 4) * G * m * quad(integrand, u_ev, np.inf)[0])
print((3 / 4) * G * m * quad(integrand, 0, np.inf)[0])

################# noordpool
print("noordpool")

x = 0
y = 0
z = rp

u_np = scipy.optimize.fsolve(fun, 10)
u_np = u_np[0]
print(u_np)

print((3 / 4) * G * m * quad(integrand, u_np, np.inf)[0])
print((3 / 4) * G * m * quad(integrand, 0, np.inf)[0])

print("klassieke formules")

print((G * m / rp))
print((G * m / re))

Ik zit er grootteordes naast, maar uit de figuur lijkt het mij dat Python slecht numeriek integreert via quad. Integreren tot oneindig is ook lastig met simpele algoritmes.

Op physicsforums is er ook een topic over, met wel een foutje denk ik.

https://www.physicsforums.com/threads/g ... d.1006744/

Ik pik het later terug op.

[wnvl1]

Code: Selecteer alles

print((3 / 4) * G * m * (   quad(integrand, u_np, 1e10, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 1e10, 1e11, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 1e11, 5e11, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 5e11, 8e11, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 8e11, 1e12, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 1e12, 2e12, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 2e12, 3e12, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 4e12, 5e12, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 5e12, 7e12, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 7e12, 1e13, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 1e13, 2e13, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 2e13, 3e13, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 3e13, 4e13, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 4e13, 5e13, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 5e13, 6e13, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 6e13, 7e13, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 7e13, 8e13, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 9e13, 1e14, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 1e14, 1e15, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 1e15, 1e16, epsabs=1e-12)[0] +
                            quad(integrand, 1e16, np.inf, epsabs=1e-12)[0]
                            ))

Door het zo op te splitsen kom ik tot 55084848 voor de potentiaal (zou rond de 62641896 moeten zijn). Dat suggereert dat de formules wel goed zijn.
Iemand een idee voor een beter integratie algoritme?