gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

[HansH]

Door het zo op te splitsen kom ik tot 55084848 voor de potentiaal (zou rond de 62641896 moeten zijn). Dat suggereert dat de formules wel goed zijn.
Iemand een idee voor een beter integratie algoritme?

Zal in Matlab of mathcad wel goed gaan denk ik. die heb ik beide.
Ik probeer even high level te begrijpen wat jullie aan het doen zijn. klopt het als ik het zo samenvat?
-je berekent de kracht als functie van de afstand voor de combinatie van zwaartekracht en rotatie
-je integreert over een pad om een maat te krijgen voor de opgebouwde potentiaal= maat voor tijd dillatatie
-bij verschillende paden kom je echter niet tot hetzelfde getal terwijl dat wel zou moeten

[Xilvo]

Zal in Matlab of mathcad wel goed gaan denk ik. die heb ik beide.
Ik probeer even high level te begrijpen wat jullie aan het doen zijn. klopt het als ik het zo samenvat?
-je berekent de kracht als functie van de afstand voor de combinatie van zwaartekracht en rotatie
-je integreert over een pad om een maat te krijgen voor de opgebouwde potentiaal= maat voor tijd dillatatie
-bij verschillende paden kom je echter niet tot hetzelfde getal terwijl dat wel zou moeten

wnvl1 probeert de zwaartekrachtspotentiaal te berekenen volgens de formules die hier staan.
Het gaat om de formule voor \(\Omega\). De onderste integratiegrens u=0.
Gebruik deze waardes:
rp = 6356752
re = 6378137
m = 5.97e24
G = 6.67e-11

a = re
b = re
c = rp
Voor de evenaar:
x = 0
y = re
z = 0
Voor de pool:
x = 0
y = 0
z = rp
Laat \(\pi abc\) voor de integraal weg en vervang dat door \(\frac{3}{4}G m\).
Dan zou je de zwaartekrachtspotentiaal bij de evenaar en de pool moeten krijgen, uitgaande van een uniforme dichtheid van de aarde. Die uitkomsten moeten beide in de buurt van -6E7 liggen.

[wnvl1]

De numerieke integraal is ook problematisch in matlab.
Ik zal de matlab code later hier zetten. Door hem in stukken te klappen kom je ook daar tot op 10% van een goed resultaat.

[Xilvo]

Als ik de potentiaal uitreken dicht boven het oppervlak van de aarde bij een ellipsoide met uniforme dichtheid (numerieke integratie over de planeet) dan krijg ik
equa: -6,2465E7
pool: -6,2549E7

verschil: -0,84E5

Als ik dat doe met de "echte" dichtheidsverdeling dan krijg ik
equa: -6,2089E7
pool: -6,2255E7

verschil: -1,66E5

Als de bijdrage aan de potentiaal inderdaad \(\frac{1}{2}\omega^2 r^2\) is, dan zou het verschil 1,076E5 moeten zijn.
Alle waardes in J/kg.

[wnvl1]

De code in matlab die mij brengt tot 56MJ/kg. Ik heb niet zo veel kennis van numerieke integratie, maar kan mij inbeelden dat het lastig is voor een integratie algoritme.

Code: Selecteer alles

rp = 6356752;
re = 6378137;
m = 5.97e24;
G = 6.67e-11;
w = 7.2722e-5;

a = re;
b = re;
c = rp;

x = 0;
y = re;
z = 0;


fun1 = @(u)(x.^2 ./ (a.^2 + u)) + (y.^2 ./ (b.^2 + u)) + (z.^2 ./ (c.^2 + u)) - 1;
u_ev = fzero(fun1,[0.000000001,1]);

integrand = @(lam)(1 - (x.^2 ./ (a.^2 + lam)) - (y.^2 ./ (b.^2 + lam)) - (z.^2 ./ (c.^2 + lam))) ./ (((a.^2 + lam) .* (b.^2 + lam) .* (c.^2 + lam)).^0.5);

uitkomst = (3 ./ 4) .* G .* m .* integral(integrand, 0, Inf);


uitkomst = (3 ./ 4) .* G .* m .* ( integral(integrand, 0, Inf) ...
+ integral(integrand, 0, 1e10) ...
+ integral(integrand, 1e10, 1e11, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 1e11, 5e11, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 5e11, 8e11, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 8e11, 1e12, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 1e12, 2e12, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 2e12, 3e12, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 3e12, 4e12, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 4e12, 5e12, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 5e12, 6e12, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 7e12, 8e12, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 8e12, 9e12, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 9e12, 1e13, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 1e13, 2e13, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 2e13, 3e13, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 3e13, 4e13, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 4e13, 5e13, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 5e13, 6e13, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 6e13, 7e13, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 7e13, 8e13, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 8e13, 9e13, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 9e13, 1e14, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 1e14, 1e15, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 1e15, 1e16, 'AbsTol',1e-15) ...
+ integral(integrand, 1e16, Inf));

[wnvl1]

Ja ik kan me best inbeelden dat de berekening van Xilvo numeriek nauwkeuriger is. Al moet er ook wel iets aan te doen zijn om mijn integraal nauwkeuriger uit te rekenen. De resultaten van Xilvio zijn al bij al wel redelijk in de buurt lijkt mij

[wnvl1]

Ik vind de berekening die we hier maken best wel een heel leuke oefening. Een van de leukste die ik al ben tegengekomen op wetenschapsforum met dank aan HansH voor het topic, OOOVincentOOO voor de link naar de film en Xilvo voor de fysica-inzichten zoals altijd.

Het valt mij op dat als ik google op het internet ik geen gelijkaardige berekeningen / oefeningen vind. Ik heb echt mijn best gedaan. Niemand doet dat blijkbaar uit de verhouding van de straal van de evenaar en pool de rotatiesnelheid van de aarde berekenen. Heel merkwaardig.

[Xilvo]

Ik begrijp niet waarom dat integreren van die functie voor de potentiaal van een ellipsoide zo moeilijk moet zijn.
Als \(\lambda\) veel groter wordt dan \(a^2\) ... \(c^2\), dan blijft er tussen de haakjes bij de integraal uiteindelijk alleen die 1 over, terwijl de \(1/\Delta\) ongeveer \(\lambda^{-1,5}\) wordt.

Als ik dit probeer

Code: Selecteer alles

def fn(x):
    return x**(-1.5)

w=quad(fn, 1, np.inf)[0]
print(w)

dan komt er probleemloos 2 uit, wat je ook verwacht.

[wnvl1]

Ik denk dat die berekening van mij, met dat goede resultaat, behoorlijk betrouwbaar is. De enige fout (afgezien van die door numeriek benaderen) zou kunnen zijn dat de zwaartekracht bij een iets elliptische "bol" niet steeds helemaal exact naar het centrum wijst.
De andere berekeningen, van jou, van mij, gaan toch uit van een bol, niet van een ellipsoide. We passen alleen de straal wat aan als we tussen pool en evenaar switchen.

Daar ben ik wel nog altijd niet akkoord met je uitleg. Voor jouw "juiste" berekening ga je er uiteindelijk ook vanuit dat de volledige massa in het centrum is gelokaliseerd. Op basis daarvan ga je op zoek naar een equipotentiaal lijn die overal loodrecht staat op de kracht. Die lijn gaat er misschien wel wat uitzien als een ellips, maar nergens maak je ervan gebruik dat de massaverdeling elliptisch is.

Waarom jij een totaal andere uitkomst uitkomt dan met onze "foute" methode via de potentiaal functies daar heb ik nog altijd geen enkele verklaring voor. In deze methode veronderstellen we uiteindelijk ook dat de massa volledig in het centrum is gelokaliseerd. Dat blijft voor mij de vraag der vragen.

[wnvl1]

Ik begrijp niet waarom dat integreren van die functie voor de potentiaal van een ellipsoide zo moeilijk moet zijn.

Als je kijkt naar dit figuurtje van de integrand zou het inderdaad niet zo moeilijk mogen zijn.

[Xilvo]

Daar ben ik wel nog altijd niet akkoord met je uitleg. Voor jouw "juiste" berekening ga je er uiteindelijk ook vanuit dat de volledige massa in het centrum is gelokaliseerd. Op basis daarvan ga je op zoek naar een equipotentiaal lijn die overal loodrecht staat op de kracht. Die lijn gaat er misschien wel wat uitzien als een ellips, maar nergens maak je ervan gebruik dat de massaverdeling elliptisch is.

Dat klopt. Dat kan betekenen dat de zwaartekracht niet precies naar het centrum wijst. Ik vermoed dat dat weinig scheelt maar dat heb ik (nog) niet aangetoond. Maar het mooie resultaat zou inderdaad toeval kunnen zijn.

Waarom jij een totaal andere uitkomst uitkomt dan met onze "foute" methode via de potentiaal functies daar heb ik nog altijd geen enkele verklaring voor. In deze methode veronderstellen we uiteindelijk ook dat de massa volledig in het centrum is gelokaliseerd. Dat blijft voor mij de vraag der vragen.

Het is natuurlijk wel een heel andere berekening. Potentialen doen er niet toe. Het gaat alleen om de krachten.

[wnvl1]

Equipotentiaaloppervlakken zijn vlakken die loodrecht staan op de kracht. Jij blijft met je berekening steeds loodrecht op de kracht. Dus jij zou in een equipotentiaaloppervlak moeten blijven.

Zou bovenstaande stelling mis kunnen zijn?

[wnvl1]

Speelt hier Coriolis misschien wel een rol? Als je je natuurlijk over dat 'equipotentiaalvlak' gaat bewegen, ga je wel een Coriolis effect hebben.

[Xilvo]

Ja, daar was ik ook over aan het denken. Is de berekening van de potentiaal door de centrifugale kracht wel correct.
Had je aangetoond dat het een conservatieve kracht is? Anders heb je denk ik niet eens een potentiaal.

[wnvl1]

viewtopic.php?t=213733&start=60

Hier heb ik dat bewezen. Deze kracht geldt wel alleen maar als je stilstaat in het roterend frame. Bij beweging is het complexer.