toepassing van integralen

[PapaEmile]

ik zou de met de schilmethode de inhoud van deze functie moeten vinden, y = ln(1 + x), door het gebruik van de schilmethode formule namelijk V(x)=2pi integraal van (y*h(y)dy). Maar ik weet niet goed hoe ik de h(y) hier moet bepalen.
Iemand die mij hierbij kan helpen?

[wnvl1]

Probeer eens

$$\int_0^{h} \int_0^{\ln(1 + x)} 2\pi y dy dx$$

h is de hoogte in de x-richting.

[ukster]

of ....
rotatie om verticale as

volume1.png (1.15 KiB) 1053 keer bekeken

rotatie om horizontale as

volume2.png (1.1 KiB) 1053 keer bekeken

[Xilvo]

Stel dat de integratiegrenzen in de x-richting \(0\) en \(2\) zijn. Dan krijg je deze grafiek:

schil.png (5.63 KiB) 1035 keer bekeken

Je wil dan het volume weten als het deel onder de grafiek tussen \(x=0\) en \(x=2\) om de x-as wordt gewenteld.

Bij de schilmethode integreer je langs de y-as en bereken je steeds het volume van een cilinderschil.
De dikte van de schil is \(dy\), de straal is \(y\) dus de omtrek is \(2.\pi.y\) en de breedte is de lengte in de x-richting, \(h(y)\).

De integatiegrenzen (van en tot waardes in de y-richting) zijn hier \(0\) en \(\ln(2+1)\)
\(h(y)\) is de lengte binnen het omwentelingslichaam in de x-richting. Voor \(y=0\) is die \(2\) (zie figuur), voor \(y=0,4\) is die ongeveer \(2-0,49=1,51\) en voor \(y=ln(2+1)=1,0986\) is die \(0\).

Kijk eens of je hier zelf \(h(y)\) mee kunt bepalen.

De integraal wordt dan \(2 \pi \int_0^{\ln(x+1)} y h(y) dy\)

[Xilvo]

Opmerking moderator

Verplaatst naar het forum "Huiswerk en Practica".