2 cirkels

[Rik Speybrouck]

2 cirkels kruisen elkaar. Het bovenste kruispunt en het middelpunt i van de kleine cirkel en het raakpunt c van de kleine cirkel staan loodrecht op de raaklijn onderaan aan de 2 cirkels (zie tekening ). Dan zou r gedeeld door R moeten gelijk zijn aan cosinus^2 van hoek abc. Zou dit kloppen ?

[ukster]

Het klopt....
Het bewijs is niet moeilijk maar is wel aardig wat werk....
uit de laatste stap van het bewijs (cosinusregel) volgt:

Bewijs.png (3.13 KiB) 1331 keer bekeken

[Rik Speybrouck]

beschik je over het volledige bewijs ?

[ukster]

2 cirkels.png (15.46 KiB) 1298 keer bekeken

1.png (6.32 KiB) 1298 keer bekeken

2.png (6.77 KiB) 1298 keer bekeken

en dan de cosinusregel voor cos(∠ACB)

[ukster]

2 cirkels.png (4.37 KiB) 1257 keer bekeken

∠ACB=135°

[RedCat]

Uit

\(\small BE = 2r\)

en

\(\small AB = 2\sqrt{r(R-r)}\)

volgt direct

\(\small \cos^2(\gamma) = \cos^2(180^\circ-\alpha-\beta)=\cos^2(\alpha+\beta)=\cos^2 \angle AEB =\)

\(\small = \frac{BE^2}{AE^2} = \frac{BE^2}{AB^2+BE^2}=\frac{4r^2}{4r(R-r)+4r^2}=\frac{r}{R}\)

(zie viewtopic.php?f=73&t=213883)