Is het natuurlijke getal 5 ongelijk aan het reële getal 5?

[jkien]

Ik vraag me ineens af of het natuurlijke getal 5 ongelijk is aan het reële getal 5. De vraag kwam bij me op omdat het natuurlijke getal 5 oneven is, en een priemgetal. Maar die twee eigenschappen bestaan, denk ik, niet voor reële getallen; het reële getal 5 kan dus niet oneven zijn, en geen priemgetal.

Is het misschien zo dat het natuurlijke getal 5 in zekere zin geprojecteerd wordt op de reële getallen (5_N → 5_R), en dat die projectie de eigenschappen oneven en priem niet meeneemt?

[Math-E-Mad-X]

Als je heel strikt naar de definities kijkt, dan zijn de twee getallen inderdaad niet gelijk aan elkaar.

Immers, de rationale getallen zijn gedefinieerd als equivalentie klassen van paren van gehele getallen, dus het rationale getal 5 is eigenlijk de equivalentie klasse \(\{(5,1), (10, 2), (15, 3) , ... \}\). Deze equivalentie klasse kan dan genoteerd worden als \(\frac{5}{1}\) of als \(\frac{10}{2}\), of als \(\frac{15}{3}\), etcetera, of gewoon simpelweg als 5.

De reële getallen zijn op hun beurt weer gedefinieerd als equivalentie klassen van convergente rijen van rationale getallen.

However, in de praktijk zal geen enkele wiskundige daadwerkelijk onderscheid maken tussen het gehele getal 5, het rationale getal 5, en het reële getal 5. Tenzij dit echt van wezenlijk belang is, bijvoorbeeld als je je bezig houdt met de absolute grondbeginselen van de wiskunde.

Hoewel wiskundigen meestal van striktheid houden, kun je daar ook te ver mee gaan. Dus als je in een wiskundig artikel dit onderscheid wel maakt, zonder dat daar echte noodzaak voor is, zullen de reviewers daar waarschijnlijk over gaan klagen.

Verder hangt het natuurlijk ook af van welke definities je precies gebruikt. De definities hierboven zijn waarschijnlijk niet de enige definities die ooit verzonnen zijn voor de rationale of reële getallen.

[Math-E-Mad-X]

Is het misschien zo dat het natuurlijke getal 5 in zekere zin geprojecteerd wordt op de reële getallen (5_N → 5_R),

De formele manier om dit te zeggen, is dat er een kanonieke injectieve afbeelding van de natuurlijke getallen naar de reële getallen bestaat, die het natuurlijke getal 5 afbeeldt op het reële getal 5.

en dat die projectie de eigenschappen oneven en priem niet meeneemt?

Een 'eigenschap' van een natuurlijk getal is formeel gedefinieerd als een deelverzameling van de natuurlijke getallen.

Bijvoorbeeld de uitspraak '5 is een oneven getal' is een informele versie van de meer formele uitspraak '5 is een element van de verzameling der oneven getallen'.

Dus inderdaad, omdat de natuurlijke getallen eigenlijk geen deelverzameling van de reële getallen vormen, is de verzameling der oneven getallen ook geen deelverzameling van de reële getallen, en dus bestaat er geen eigenschap 'oneven' voor de reële getallen.

[jkien]

Hoewel wiskundigen meestal van striktheid houden, kun je daar ook te ver mee gaan.

"Is 83 een priemgetal?" Het leuke antwoord leek me: "Het natuurlijke getal 83 wel, het reële getal 83 niet." Maar dat is dan waarschijnlijk te strikt.

[Math-E-Mad-X]

"Is 83 een priemgetal?" Het leuke antwoord leek me: "Het natuurlijke getal 83 wel, het reële getal 83 niet."

Strikt genomen correct. Maar als je dit tegen mij zou zeggen dan zou ik antwoorden met:

DON'T BE A SMART-ASS!!

[RedCat]

... het natuurlijke getal 5 oneven is, en een priemgetal. Maar die twee eigenschappen bestaan, denk ik, niet voor reële getallen; het reële getal 5 kan dus niet oneven zijn, en geen priemgetal.
...

In mijn denkraam is

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

waarbij er maar één 5 is, element van al deze vier verzamelingen, en waardoor

\(\left| \left\{ x \in \mathbb{R} \;|\; x = 5 \right\} \right| = 1\)

Getallen hebben in de wiskunde geen labels noch nadere specificaties.

De eigenschappen die je noemt zijn niet alleen gedefinieerd over getallen, maar ook over verzamelingen van getallen:
primaliteit (wel of niet priem zijn) is gedefinieerd over de natuurlijke getallen N
(https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number),
pariteit (even/oneven) over de gehele getallen Z
(https://en.wikipedia.org/wiki/Parity_(mathematics)).

Deze eigenschappen gelden ook voor alle reele getallen die tevens element zijn van de betreffende deelverzameling waarover die eigenschappen gedefinieerd zijn (terwijl die eigenschappen voor de overige reele getallen betekenisloos/ongedefinieerd zijn).
Hierdoor kunnen we bijvoorbeeld de priemontbinding (gedefinieerd over N) gebruiken om bepaalde wortels in R te vereenvoudigen:

\(\sqrt{18} = \sqrt{2\cdot 3^2} = 3 \sqrt{2}\)