In hiërarchische boomsystemen kunnen takken niet samenkomen

[Steven Verhoef]

Stel, ik heb een hele grote biljard tafel waarbij de ballen nooit tegen een rand kunnen stoten. Op die tafel liggen random 100 ballen op een kluitje, Ik schiet er één bal stevig naar toe - zodanig dat hij ongeveer naar het midden van die kluit ballen gaat. Hij komt dan natuurlijk in botsing met andere ballen. Hij stoot ze aan en er vind overdracht van kinetische energie plaats, waarbij dus ook andere ballen beginnen te bewegen. En deze ballen stoten weer andere ballen aan ... enz.
En dan nu de vraag: Kunnen reeds bewegende ballen elkaar raken ( = klossen) ? Ik denk het van niet. En als zodanig ontstaat dan dus een hiërarchische boom (Waarbij takken NOOIT weer samenkomen).
Ook geeft dit een aardig beeld van hoe entropie werkt.

[physicalattraction]

Neem je hierbij aan dat alle ballen even zwaar zijn? Zo niet, dan kan ik denk ik wel een scenario bedenken waarbij bewegende ballen elkaar raken. Als je het met banden voor elkaar kunt krijgen, dan krijg je het voor elkaar met een configuratie waar je de band vervangt door een hele zware bal.

Hoezo geeft dit een aardig beeld van hoe entropie werkt? Moet je dan niet juist de banden wel toestaan?

[wnvl1]

Ja, als je met de zwaarte van de ballen kan spelen, dan gaat het zeker lukken om ze te laten botsen. Als alle ballen gelijk zijn dan zou je misschien gelijk kunnen hebben dat ze nooit botsen.

[RedCat]

Hier een stroboscopisch plaatje:
Op t=0 wordt de zwarte bal links zonder effect naar rechts gespeeld, alle andere ballen liggen stil,
op t=1 botsen de zwarte en rode bal,
op t=2 botsen de zwarte en groene bal en botsen ook de rode en blauwe bal

Alle ballen zijn even zwaar.
Alle botsingen zijn perfect elastisch, dus met behoud van moment en met behoud van kinetische energie.

Ergens tussen t=5 en t=6 zullen de groene en de blauwe bal botsen.

[OOOVincentOOO]

Graag wilde ik het volgende delen. Ik tracht zo correct als mogelijk te formuleren. Maar ik ben slechts amateur dus aub een beetje vergevingsgezint zijn:

Mijn aanname:
De deeltes volgen een random walk. Dat wil zeggen dat na iedere botsing de richting veranderd in een willekeurige richting x en y. Men kan dit begrip ook uitbreiden naar drie dimensies: x, y en z.

Bevindingen:
Er is een wiskundig begrip: Pólya's Random Walk Constants. Dit is een soortgelijke vraag waarbij men onderzoekt of een random walk terug kan keren naar de start positie (of een andere positie waar hij ooit geweest is). Zie: Wiki. Nu zijn er een aantal opvallende observaties welke bewezen kunnen worden. Een 1D (x), 2D (x en y) random walk zullen ooit altijd in de oorsprong of voorgegeven coordinaat terug keren. Opvallend: wanneer de random walk 3D is (x, y en z) dan kan het zijn dat de random walk NOOIT terug komt in de oorsprong of ander voorgegeven coordinaat.

The mathematician Shizuo Kaku-tani:

was known to refer to this result with the following quote: "A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever".[9]

Dit begrip heet recurrance and transience. Mijn parate kennis schiet te kort om hier toelichting op te geven zie bijvoorbeeld: Brilliant.

Context:
Jouw vraagstelling heeft te maken met de door mij beschreven wiskunde naar mijn begrip. Er zijn enige nuances maar hoe ik het vertaal: in twee dimensies zullen alle biljartballen eens met elkaar botsen. Echter in 3D niet, er is een beperte kans dat twee biljartballen elkaar wederom treffen:

In 1921 George Pólya proved that the person almost surely would in a 2-dimensional random walk, but for 3 dimensions or higher, the probability of returning to the origin decreases as the number of dimensions increases. In 3 dimensions, the probability decreases to roughly 34%.[8]

Walk3d_0.png (39.8 KiB) 3078 keer bekeken

Plaatje: wikipedia

Appendix:
Enkele jaren geleden heb ik een soort vergelijkbare analyse gemaakt. Vraag: wat is de kans dat n aantal 1D random walks elkaar kruisen. Ook hier opvallend dat er drie 1D random walks zijn welke elkaar nooit en te nimmer (hoe lang je ooit wacht) zullen kruisen. Zie: MSE. Indien er vragen over deze link zijn: deze kan ik wel beantwoorden:

Plaatje: OOOVincentOOO

(excuses voor spelfouten geen NL voorhanden)

[OOOVincentOOO]

Ook hier opvallend dat er drie 1D random walks zijn welke elkaar nooit en te nimmer (hoe lang je ooit wacht) zullen kruisen.

Correctie:
"Ook hier opvallend: er zijn combinaties van 4 of meer 1D random walks welke elkaar nooit en te nimmer (hoe lang je ooit wacht) zullen kruisen/botsen in een punt."

[ukster]

Ik vermoed dat bij perfect glad en geen wrijving de ballen na de botsing altijd van elkaar af zullen stuiteren.
Tafel en ballen perfect glad en geen wrijving is praktisch onwaarschijnlijk. dus,vooral in elkaars nabijheid,wel botsingen in verschillende richtingen. Dit zou kunnen resulteren in het klossen van ballen.

[boertje125]

Het uitgangspunt is erg belangrijk.
Betekend op en kuiltje dat praktisch alle ballen gelijktijdig in beweging worden gezet omdat ze tegen elkaar aan liggen?
m.i. krijg je dan niet het effect zoals redcat beschrijft

[OOOVincentOOO]

Inderdaad bij het nalezen openings post is mijn voorgaande bijdrage wellicht niet geheel toepasbaar. Indien het op ene kluitje begin zou ik zeggen:

1) In het eerste moment zullen alle ballen willekeurig ov x, y verspreiden. Door meervoudige botsingen in het begin.
2) Hierna zal de vrije weglengte immer toenemen en divergeren.
3) De kans 180 graden van richting te veranderen lijkt mij nihil na verloop van tijd.

Volgens mij lijkt dit op: "gas expansion in a vacuum". Diverse bronnen te vinden.

Mijn voorgaande bericht is meer in gas een een gesloten systeem bijvoorbeeld.

[Steven Verhoef]

Hallo RedCat,

Allereerst dank voor de moeite die je genomen hebt om deze tekening te maken. Het is precies wat ik bedoel.
Ik heb nu echter de botsmomenten berekent en zo ziet dat eruit.
Te zien is dat de snelheden anders zijn dan in jouw tekening (de beginsnelheid van de zwarte bal is 100):
De blauwe bal gaat 36,111
De Groene bal gaat 33,333
Beide ballen starten op een gelijk tijdstip


En dit is waarom ze elkaar kruisen maar niet botsen:

ze kruisen elkaar.JPG

[Xilvo]

En dit is waarom ze elkaar kruisen maar niet botsen:

ze kruisen elkaar.JPG

Er zijn geen plaatjes te zien. Een voorbeeld waarin ze niet botsen is nog geen bewijs dat ze nooit kunnen botsen.
Ik heb verder RedCat zelden (nooit?) op een fout kunnen betrappen.

[Steven Verhoef]

Ik heb 't het helemaal gevonden speel hier maar eens mee: https://phet.colorado.edu/sims/html/col ... ?locale=nl

[Xilvo]

Hier de trajecten van de vier ballen naar het voorbeeld van RedCat.
De ballen botsen. Het vermoeden van TS blijkt dus onjuist.

Initiële condities:

Posities:
bal 1 ( -0.08, -4)
bal 2 ( 0, -1.5)
bal 3 ( 3.35, 2.2)
bal 4 ( 4.7, -3.65)

De straal van iedere bol is 1, alle ballen liggen eerst stil behalve bal 1, die heeft een snelheid in de positieve x-richting.