[minicursus] algemene relativiteitstheorie

[peterdevis]

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen .


Als je van deze cursus gebruik maakt, willen we je vriendelijk vragen te laten weten wat je er van vond:

• Geef eventuele foutjes aan;
• Zijn de onderdelen soms onduidelijk, of net erg helder?
• Ontbreken er volgens jou stukken, of heb je suggesties?
• ...

Reageren kan in vragen en opmerkingen over de cursus. We wensen je veel plezier en succes met cursus.


---------------------------------------------------------------------------------------


[minicursus] ALGEMENE RELATIVITEIT


Differentiaal geometrie voor dummies

Of: hoe relativisten de wereld zien.


Inleiding


De algemene relativiteitstheorie (ART) is minder gekend als zijn kleine broertje, de speciale relativiteitstheorie. Dit komt natuurlijk omdat hij minder toegankelijker is en erg wiskundig. Waar voor de speciale relativiteitstheorie basiswiskunde volstaat om deze af te leiden, is er voor de ART behoefte aan een meer uitgebreid wiskundig gereedschap: de differentiaal geometrie.

Ondanks dat differentiaal geometrie het aura heeft van een moeilijke en ontoegankelijke wiskunde te zijn, wil ik in volgende tekst een poging doen om de boeiende wereld van gekromde ruimten, meerdere dimensies en last but not least de algemene relativiteitstheorie voor de doordeweekse lezer duidelijk te maken.

In tegenstelling tot de hedendaagse media wens ik hier echter geen hapklare brok fastfood voor te schotelen. De lezer zal wel degelijk inspanningen moeten leveren om een begrip te krijgen van wat differentiaal geometrie inhoudt.

Ik besef ook heel goed dat de doorwinterde wiskundige zijn haren soms overeind zullen gaan staan, als ik om de leesbaarheid en eenvoud enkele fundamentele wiskunde achterwegen laat of ze enigszins op onorthodoxe wijze uitleg.


De onderliggende tekst zal grotendeels gebaseerd zijn op twee lesteksten over differentiaal geometrie en relativiteit:


http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/Marc...l_contents.html

http://www.mathpages.com/rr/rrtoc.htm


Voorlopig dacht ik aan volgende indeling, al kan dit in de loop van de lessenreeks wel veranderen:

• De speciale relativiteitstheorie en de vlakke ruimte
• Varieteiten: De basis van differentiaal geometrie
• Coördinatenstelsels
• Tensoren: De werkpaarden van de differentiaal geometrie
• Kromming van de ruimte
• Zwaartekracht
• Gravitatiegolven
• Zwarte gaten
• Big Bang en het expanderende heelal

Door het ambitieuze karakter van deze onderneming zal er steeds wel enige tijd tussen het posten van de verschillende lessen verlopen.

[peterdevis]

Voor de mensen die snel willen gaan, heb ik al een eerste teleurstelling! We zullen immers opnieuw beginnen met de speciale relativiteit. Maar we zullen deze wel bekijken vanuit een heel ander standpunt: de vierdimensionale ruimtetijd.


1.1 De ruimtetijd.


We ervaren onze wereld als een driedimensionale ruimte. Met drie getallen (en bijhorende assenstelsel) kunnen we immers elke plaats in het heelal definiëren. Door hieraan een vierde getal aan toe te voegen die de tijd uitdrukt, kunnen we elke gebeurtenis in het universum bepalen. In de prerelativistische wetenschap maakte het niet uit dat deze tijd als parameter of als dimensie werd beschouwd. Immers bij assentransformaties (de galileo transformatie) bleef de tijd steeds ongewijzigd en had de uitdrukking "alle ruimte op een bepaald ogenblik" nog een zinvolle betekenis. Zoals we in de cursus SRT zagen is dit niet meer het geval in de relativistische wereld. Bij assentransformaties (van het ene bewegende naar een ander bewegend assenstelsel) verandert ook de coördinaat van de tijd. We kunnen de tijd niet meer als parameter beschouwen maar dienen deze op gelijke voet te zetten met de drie ruimtecoördinaten. De (wiskundige) ruimte beschreven door deze vier dimensies (3 ruimte en één tijds dimensie) noemen we de ruimtetijd.


1.2 Assenstelsels


Voor we verder gaan in vier dimensies keren we eerst terug naar de twee dimensionale ruimte: een A4 blad.

Indien ik op dit blad papier éénduidig een punt wil bepalen, dat jij als lezer ook kan terugvinden, moet ik eerst een assenkruis definieren. We nemen hiervoor het middelpunt van het blad.(merk op dat je geen assenkruis nodig hebt om dit te bepalen). We tekenen door dit middelpunt twee assen . Eén evenwijdig met de onderrand en één met de zijrand. Is dit voldoende om alle punten van het blad éénduidig te bepalen. Neen, aan elke as moeten we nog een schaal toekennen.(dit kan voor beide assen verschillen). Voor de eenvoud ijken we beide assen met ons metriek stelsel en werken we met centimeters en leggen we beide nulpunten in de snijding van het assenkruis.(punt (0,0)).

Indien ik nu vraag om een lijnstuk te tekenen van punt (1,1) naar punt (2,3) zou op ieder zijn blad eenzelfde lijnstuk op dezelfde plaats moeten staan. Tot hier een zeer omslachtige uitleg van een wiskundige techniek die jullie waarschijnlijk reeds lang onder de knie hebben. Toch hecht ik er veel belang aan want referentiestelsels (assenstelsels) en de transformatie van dhet ene stelsel naar het andere zijn de sleutels van de ART. En misschien waren we wel vergeten dat :

• Sommige eigenschappen los staan van assenstelsels
• Een assenstelsel bestaat uit een oorsprong, assen, en een schaal op de assen. Zoals u wellicht begrepen heeft hoeven de assen niet loodrecht op elkaar te staan. Lineaire onafhankelijkheid is een nodige maar voldoende voorwaarde.

1.3 Assentransformaties


Is dit nu het enige assenstelsel dat de gehele ruimte (ons blad) beschrijfd? We hadden de oorsprong op een andere plaats kunnen nemen, we hadden de orientatie van de assen anders kunnen nemen of we hadden een andere schaal kunnen gebruiken.

Als we een ander assenkruis op ons blad tekenen, zal dit echter niets veranderen aan ons lijnstuk. Het blijft op dezelfde plaats staan en veranderd niet van vorm of lengte. Wel zullen de cöordinaten van beginpunt en eindpunt verschillen in de respectievelijke assenstelsels. Het verband tussen deze coördinaten van de twee stelsels noemen we de assentransformatie.

Bij carthesische stelsels (loodrechte assen en gelijke schalen) onderscheiden we twee soorten:


De translatie: oorsprong is verschoven :

• 

De rotatie: assen zijn over een hoek a geroteerd :

• 

Probeer zelf deze formules te construeren.

Vanaf heden zullen we deze transformaties noteren in de matrix vorm

• 

1.4 Afstand en invariantie


Eén van de eigenschappen van ons lijnstuk is zijn lengte of de afstand tussen het begin- en het eindpunt van het lijnstuk. Dankzij pythagoras weten we dat:

• 

Een (merkwaardig) feit is dat deze eigenschap lengte (en daardoor ook de afstand tussen twee punten) niet wijzigd onder de rotatie of de translatie van het assenstelsel. Dit zou bijvoorbeeld wel hetgeval zijn als we zouden herschalen.We zeggen dat afstand invariant is onder de rotatie en translatie. Het invariant zijn onder een assentransformatie is een erg belangrijk begrip in de relativiteitstheorie.


1.5 De lichtsnelheid is constant

Ha, eindelijk een beetje relativiteit. Misschien heeft de uitleg over invariantie al een belletje bij jou doen rinkelen. Uit proeven blijkt , zoals we in de minikursus SRT gezien hebben, dat in elk inertiaalstelsel de lichtsnelheid constant is. We kunnen dit vertalen als : Lichtsnelheid is invariant onder bepaalde assentransformaties (nl, deze tussen twee inertiaalstelsels).

Om dit wiskundig te verwoorden stappen we terug naar onze vierdimensionale ruimte.

In een bepaald assenstelsel is de snelheid van het licht gelijk aan c of

• 

Let op de gelijkenis met de lengte van ons lijnstuk (exact hetzelfde als je t=0 stelt). We noemen deze grootheid een interval tussen twee gebeurtenissen


Def 1:

We noemen een bepaalde plaats op een bepaald ogenblik , en dus één enkel punt in de ruimtetijd, een gebeurtenis (x,y,z,t)


Def 2:

Voor een interval s tussen twee gebeurtenissen geldt

• 

De vraag blijft echter onder welke assentransformaties het interval invariant is? We weten dat dit zeker niet de galilei transformaties kan zijn. Maar welke dan wel?

Om dit te bepalen gaan we eerst ons arsenaal van wiskundige technieken uitbreiden en treden we stilletjes aan binnen in de wereld van de differentiaal geometrie.


Vooreerst gaan we onze schrijfwijze van coördinaten veranderen. Zoals je doorheen de cursus zult merken bestaat een groot deel van de differentiaal geometrie in het compact vorm schrijven van formules. Het is erg belangrijk om je deze schrijfwijzen eigen te maken. Zo blijf je beseffen wat de formules werkelijk betekenen

• 

Let hier bij op dat bovenindices hier geen machten zijn! Het is uit de context of door haakjes dat je een onderscheid zult leren maken tussen indices en machten.

Verder stellen we voor de eenvoud c=1 (dit kan makkelijk door herschaling)


Ook matrices kunnen we op deze wijze noteren:

• 

U zult merken dat we hier de indices vanonder hebben geplaatst. Dit doen we om de Einstein notatatie kunnen in te voeren. Om niet steeds sommatietekens te moeten opschrijven, spreken we af dat indices die boven en onder terugkomen gesommeerd worden:

• 

We kunnen nu het interval in een compactere vorm gaan neerschrijven:

We gaan eerst over op de matrix notatie

• 

1.6 De Lorentztransformatie


Ok, we kunnen verder met onze zoektocht naar een gepaste transformatie. Zoals we bij ons blad papier reeds gezien hebben kunnen we een (lineaire) transformatie schrijven als een nxn matrix (met n het aantal dimensies van de ruimte). We passen dit nu toe op ons interval. Voor de eenvoud gebruiken we nog de matrix notatie, op het einde van de afleiding zetten we het geheel dan terug om in de einstein sommatie.

• 

met x en x' coördinaten van twee verschillende assenstelsels verbonden door de assentransformatie [X '] =[L] [X] en dus ook [X']^T =[X]^T[L]^T


hieruit volgt

• 

U merkt waarschijnlijk op dat de indices van de transformatiematrix zowel boven en onder staan. Maar hierover later meer.

Ik raad iedereen om als oefening eens te verifieren dat beide notaties inderdaag gelijkaardig zijn.

Alle transformaties die aan bovenstaande regel voldoen, zijn transformaties waarvoor het interval s invariant is (zo zijn we er tenslotte aan gekomen). We noemen deze transformaties de Lorentztransformaties. We zullen zo dadelijk zien dat deze inderdaad overeenkomen met de Lorentztransformaties die we in de minikursus zijn tegengekomen, zij het dat de huidige definitie iets algemener is dan deze in de minikursus.

De matixen L die voldoen aan de voorwaardeze vallen uitéén in twee grote groepen: de rotaties in de ruimtedimensies (nl rotatie in het x-y, x-z, en y-z vlak) en de rotaties in een tijd en ruimte vlak (nl rotatie in (x-t, y-t,z-t)) deze laatste worden boost genoemd.


Een voorbeeld van een ruimterotatie :

• 

Ook hier weer een nuttige oefening om te bewijzen dat deze matrix

1) een rotatie in het x-y vlak is

2) ze beantwoordt aan voorwaarde (1) en dus een lorentztransformatie is.

Merk op dat alfa.gif hier is gedefinieerd van 0 tot 2


Een voorbeeld van een boost :

• 

Ook hier weer een nuttige oefening om te bewijzen dat deze matrix

1) een rotatie in het x-t vlak is

2) ze beantwoordt aan voorwaarde (1) en dus een lorentztransformatie is.

Merk op dat hier loopt van - tot +


U vraagt zichzelf waarschijnlijk af waar de zo vertrouwde Lorenttransformatie uit de minicursus blijft. Wel hij staat hier juist boven! Inderdaad, bovenstaande transformatie kunnen we immers ook zo schrijven:

• 

Als we nu zien hoe de oorsprong van het assenstelsel x' (x'=0) zich situeert t.o.v van de oorsprong van het assenstelsel x zien we dat:

• 

Of in woorden het assenstelsel x' beweegt met een snelheid tanh(o) =v t.o.v. het assenstelsel x

Door nu phi als functie te schrijven van v en in de transformatieformules in te vullen verkrijgen we de vertrouwde transformatieformules.

• 

En dit herkennen we wel.


Een korte samenvattingvan deze les:


Uit de eis dat de lichtsnelheid constant is in bepaalde assenstelsels, vonden we dat dit overeenkwam met de eis dat een interval invariant moest zijn onder bepaalde transformaties. Dit bleek waar te zijn voor 6 soorten transformaties, namelijk rotaties in de ruimtevlakken en rotaties in ruimte tijdvlakken. Deze laatste bleken transformaties te zijn tussen twee assenstelsels die met een constante snelheid tov elkaar bewegen., maw

[peterdevis]

Les 2 Variëteiten


In deze les gaan we het fundament van de algemene relativiteitstheorie behandelen: Met name het concept ruimtetijd en hoe dit wiskundig beschreven wordt door het begrip varieteit. We zullen van elementaire wiskundige begrippen vertrekken om deze ruitetijd op te bouwen. Ook hier is de boodschap weer om alle begrippen goed tot je te laten doordringen. Dit hoofdstuk is nog erg beschrijvend, maar als we later de wiskundige machinerien er op los laten is het soms handig om de fundamentele concepten die er achter zitten in herrinering te brengen.


2.1 Gebeurtenissen


Op 18 juni 1815 werd Napoleon definitief verslagen te Waterloo. Op 9 november 1989 valt de muur van Berlijn. Op 14 juli 1789 wordt de Bastille in Parijs bestormt. Ondanks hun grote invloed op onze westerse geschiedenis van deze feiten, staan ze hier enkel maar om het begrip gebeurtenis duidelijk te maken: Een feit éénduidig bepaald in ruimte en tijd.


We moeten echter opletten dat we die éénduidige bepaling van ruimte en tijd niet verwarren met de aanduiding van plaats en tijdstip.

Laat me dit verduidelijken. De slag van Waterloo vond voor ons plaats op 18 juni 1815. Voor de chinezen is de veldslag in het jaar 4513 beslecht. Ondanks de twee verschillende tijdsaanduidingen heeft de slag bij Waterloo slechts op één bepaald moment plaatsgevonden.

We zouden kunnen stellen dat om over een gebeurtenis te spreken er een waar en wanneer moet zijn maar dat deze niet gekend hoeft te zijn. Het aanduiden van een gebeurtenis met een label, bv "Slag bij Waterloo" is op dit ogenblik voldoende.

Ook in de natuurkunde en specifiek in de algemene relativiteitstheorie werken we met het begrip gebeurtenis. Waar historici echter triviale zaken , het zaaien van wat koren door boer Jan, niet als een gebeurtenis beschouwen, zullen natuurkundigen elke plaats op elk ogenblik als een gebeurtenis beschouwen.



2.2 Een verzameling van gebeurtenissen


Een handige manier om jezelf te ondervragen ter voorbereiding van een toets geschiedenis, is het opschrijven van gebeurtenissen op een papiertje zonder tijd of plaats. Deze steek je dan in een plastic zak of sigarenkistje om er willekeurig één uit te trekken. De bedoeling is dan om plaats en tijd op te dreunen.

Het sigarenkistje of de plastic zak is wat wiskundigen een verzameling van gebeurtenissen noemen.

Losse feiten zonder aanduiding van plaats of tijd. Een verzameling hoeft niet alle gebeurtenissen te bevatten. Zo kun je een verzameling "Europese geschiedenis" maken of een verzameling "De Reformatie" maken.

Ook in de natuurkunde zullen we de gebeurtenissen in een verzameling stoppen. Met wat flexibiliteit zou je deze verzameling reeds de "ruimtetijd" kunnen noemen.


2.3 Topologie van een verzameling


Nu zal elke geschiedenis leraar je weten te vertellen dat het nogal zinloos is om gebeurtenissen los van elkaar te zien. En dat je deze moet kunnen plaatsen in hun context. Hij zal terecht opmerken dat gebeurtenissen uit elkaar voortvloeien of invloed op elkaar uitoefenen. Hij zal voorstellen om over een bepaalde plaats, bijv het romeinse rijk, een tijdslijn op te stellen. We ordenen dan de gebeurtenissen door oorzaak voor gevolg te plaatsen. U merkt op dat we dit kunnen doen zonder er een exacte tijdsbepaling bij te plaatsen, al zullen historici dit het lifst wel doen. Maar om te ordenen is dit niet echt nodig.

Het aanbrengen van zo'n ordening noemen we in de wiskunde het aanbrengen van een topologie.

Buiten het ordenen van oorzaak en gevolg , kunnen we de verschillende tijdslijnen nog eens ordenen naar plaats. Dit is de ordening "ligt naast"

Waar we de causale (oorzaak en gevolg) ordening nog met één set getallen kunnen aanduiden (gebeurtenis 1 komt voor gebeurtenis 2 komt voor…) hebben we voor de plaatssen op onze wereldbol 2 sets van getallen nodig (vb breedte- en lengtegraad). Wiskundig zeggen we dat de causale of tijdsordening ééndimensionaal is en de plaatsordening 2 dimensionaal. We introduceren op de verzameling van "wereldgebeurtenissen" een driedimensionale topologie.

Ook onze "pre-ruimtetijd" verzameling gaan we uitrusten met een topologie. Dat deze vierdimensionaal is zal jullie niet verwonderen!


2.4 De varieteit of manifold


We zijn dus vertrokken van losse gebeurtenissen die we in een verzameling hebben gestopt. Daarna hebben we in deze verzameling en ordenng aangebracht ,een topologie. Onze historici zouden met een beetje goede wil voldoening kunnen nemen indien we hier zouden stoppen. Het zal wel wat onhandig zij om niet met dat te kunnen werken, maar de chronologie van de gebeurtenissen is wel aanwezig en dat is toch de essentie van geschiedenis.

Onze natuurkundigen zijn echter minder gelukkig. Uiteindelijk willen ze een model van de werkelijkheid waarmee ze kunnen rekenen , numerieke oplossingen vinden. De oplossing hiervoor is dat we de ordening gaan uitwerken met getallen.

Een voorbeeld: We hebben eenverzameling met 16 gebeurtenissen A tot en met P.

We brengen hier een 2 dimensionale ordening aan. Dit doen we als volgt: A( ligt naast B,ligt naast E), B(ligt tussen A en C, ligt naast F) …. F(ligt tussen E en G, ligt tussen Ben J)…

We kunnen dit visualiseren met volgend beeld.

• 

We kunnen echter de ordening ook aanduiden met de gehele getallen en stellen dat A(1,1) B(1,2) C(1,3) …F(2,2). Hierbij veronderstellen we dat de ordening van de gehele getallen volgen en dus dat 2 ligt tussen 1 en 3. Wiskundig zeggen we dan dat de ordening lijkt op de ordening van de gehele getallen.

Voor onze ruimtetijd volstaan de gehele getallen echter niet om al onze gebeurtenissen te ordenen. We ervaren ruimte en tijd immers als iets continu. Daarom zullen we stellen dat de topologie van onze ruimtetijd moet lijken op de topologie van R⁴, de vierdimensionale ruimte van reële getallen.

Een verzameling uitgerust met een topologie die lijkt op die van Rn noemen we een varieteit (of manifold in de engelse literatuur).

De grote kracht van een variteit is dat alle rekenkunde die we op Rn kunnen toepassen, ook op de varietiet kunnen toepassen!

In de volgende paragrafen gaan we dit alles in een wiskundig jasje gieten, hou hierbij steeds de bovengaande beschrijving voor ogen en probeer te kijken wat er achter de wiskundige symbolen zit.



2.5 De wiskundige vertaling.

Eerst gaan we wat vertellen over de eigenschappen van de n-dimensionale euclidische ruimte Rⁿ. Dit is gewoon de verzameling van alle n-paren van de reele getallen:

• 

De topologische "afstand" tussen twee elementen (in de ruimtetijd gebeurtenissen) y en z is dan :

• 

Met deze "afstand" (Ik zet dit bewust tussen anhalingstekens omdat afstand niet verward mag worden met lengte. Lengte is immers een eigenschap die samenhangt met assenstelsels) kunnen we het begrip open bol definieren.

Een open bol is de verzameling van alle punten in Rⁿ die vallen binnen een bepaalde afstand r van het punt y. (In R³ is dit inderdaad een bol).

• 

Een open verzameling is een verzameling die opgebouwd is uit de unie van een willekeurig (mogelijks oneindig) aantal open bollen.

Ruwweg gesproken is een open verzameling het binnenste van een gesloten (n-1) oppervlak.

Het definieren van het begrip open verzamelingen in Rⁿ, rust Rⁿ ook in één keer uit met een topologie. Met de open bollen kun je immers bepalen welk punt meer in de nabijheid ligt dan een ander punt.

Enkele voorbeelden van open verzamelingen binnen Rⁿ



De torus, die je kunt opbouwen door van een vlak de tegenovergestelde zijden aan elkaar te plakken is een open verzameling

• 

Een Riemann oppervlak met genus g is een open verzameling

• 

Een dubbele conus of een oppervlak waar een lijnstuk uitsteekt is geen open verzameling

• 

Nu we een topologie hebben voor Rⁿ kunnen we gaan kijken hoe we de topologie van andere verzamelingen laten lijken op die van Rⁿ.

Hiervoor grijpen we terug uit naar een elementair begrip uit de verzamelingenleer: De map tussen twee verzamelingen.

Gegeven twee verzamelingen M en N , dan is de map een relatie die aan elk element van M juist één element van N verbindt. Of anders gezegd een map is een generalisatie van de functie.

• 

Door nu een éénduidige map te maken tussen Rⁿ en een willekeurige verzameling definieren we automatisch een topologie op die verzameling:

• 

In het volgende hoofdstuk gaan we hier nog dieper op in.


2.6 Besluit


Om een theorie op te stellen over een natuurkundig systeem moeten we eerst een kader scheppen waarin het systeem kan beschreven worden. Voor de gravitatie blijkt een vierdimensionale continue wiskundige ruimte voldoende te zijn als wiskundig kader.

Door deze ruimte in te richten naar het voorbeeld van de euclidische ruimte , wordt het mogelijk om reeds bestaande wiskunde toe te passen op dit kader.

In volgende hoofdstukken zullen we zien hoe dit concreet in zijn werk gaat. We zullen hiervoor coördinatensystemen introduceren en wiskundige objecten die we tensoren noemen.

[peterdevis]

Eindelijk een derde deel in de lessenreeks!

Je kan gerust stellen dat deze les erg essentieel is voor een goed begrip van de ART. Dit is ook de reden dat het zo lang geduurd heeft voor ze klaar was. Om dezelfde reden wordt ze in twee delen opgesplitst. Het eerste deel gaat over het begrip vector. In het tweede deel breiden we dit begrip uit naar de tensor.


Les 3 Tensoren


In het vorige hoofdstuk hebben we een raamwerk gecreëerd waarin we onze waarnemingen van de wereld kunnen beschrijven. We stelden dat alles wat in onze wereld gebeurd éénduidig kan worden bepaald door vier getallen, drie om de plaats te bepalen en één getal dat een aanduiding van ordening gaf. De verzameling van al deze gebeurtenissen, ruimtetijd genoemd, rustten we uit met een topologie, we zorgden ervoor dat er een éénduidig verband bestond tussen deze ruimtetijd en de verzameling R4

In dit hoofdstuk gaan we deze verzameling verder uitrusten en bemannen met enkele handige werkpaarden : de Tensoren


3.1 Een coördinaten onafhankelijke container


De ruimtetijd die we tot nu opgebouwd hebben als model voor de werkelijkheid beschrijft tot nu toe enkel nog maar de lege ruimte. We hebben immers wel gebeurtenissen maar nog geen mogelijkheid om aan te geven wat er gebeurd. Welke massa, lading, energie is er op een bepaald moment op een bepaalde plaats aanwezig? We hebben dus nood aan een object dat per gebeurtenis de toestand van deze gebeurtenis aangeeft. Om de analogie met onze geschiedenisweergave nog éénmaal aan te halen: We moeten als het ware aan elk historisch feit een memoblaadje hangen van wat er juist gebeurd is op dat moment.

We gaan echter wat voorwaarden stellen aan dit memoblaadje. De grote verdienste van Einstein is in feite dat hij met zijn relativiteitstheorie aantoonde dat het equivalentieprincipe voor zowel de wetten van Newton als die van Maxwell gold.

Het equivalentieprincipe stelt dat een natuurwet onafhankelijk is van de waarnemer of maw het coördinatenstelsel. Dit principe is erg fundamenteel in de natuurkunde. We gaan er dan ook voor zorgen dat ons memoblaadje informatie bevat die coördinaatonafhankelijk is of wat je zou kunnen noemen een coördinaten onafhankelijke container: de tensor.


3.2 De berg en de knikker


Veronderstel volgend probleem: Een berg waar we een knikker laten afrollen vanaf de top. Graag hadden we geweten waar die knikker terecht gaat komen en welke weg hij gaat afleggen.

Om dit te kunnen verwezenlijken moeten we een model maken van dit probleem:een model voor de vorm van de berg, de eigenschappen van de knikker en de oorzaak van beweging van de knikker.

Over de knikker kunnen we kort zijn : hij is perfect rond, heeft een bepaalde massa m en beweegt wrijvingloos t.o.v. het bergoppervlak.

De beweging van de knikker wordt beheerst door de wet van Newton: F=ma met m de massa van de knikker, a de versnellingsvektor (grootte + richting) en F de krachtvektor die inwerkt op de knikker. Deze kracht is evenredig met de valversnelling, de massa van de knikker en de steilte van het punt waar de knikker zich bevind.

De berg zelf kunnen we opvatten als een tweedimensionale variëteit (enkel het oppervlak is in ons vraagstuk immers van belang). We kennen aan elk punt van het bergoppervlak twee getallen toe en zorgen dat deze toekenning zo gebeurd dat de punten die naast elkaar op de berg liggen ook naast elkaar in R2 liggen. Hierdoor is de berg echter nog niet voldoende gekarakteriseerd. Aan elk punt moeten we de de eigenschap hoogte nog toekennen. De hoogte iin een punt kan gekarakteriseerd worden door één getal of scalar.

• 

U vraagt zich waarschijnlijk af waarom we de berg niet beschrijven met drie coördinaten, zodat we geen apparte eigenschap hoogte moeten bepalen in elk punt. Wel dat kan ook wel maar omwille van het voorbeeld van wat tensors zijn doen we dit hier niet.


De scalar 'hoogte' is coördinaatonafhankelijk van alle coördinatenstelsels die we op onze varieteit kunnen definieren.De twee coördinaten van een punt kunnen wel veranderen bij een coördinatentransformatie maar de eigenschap hoogte hangt vast aan het punt en niet aan de waarde van de coördinaten van dat punt.

Alle gegevens die we de berg kenmerkt zitten nu in ons model. Er is echter nog een probleem: Om de bewegingsvergelijking van de knikker op te stellen hebben we de steilte van de berg in een gegeven punt nodig. We kunnen steilte definiëren als de verandering van hoogte over een afstand. De steilte is, zoals iedereen die reeds een berg beklommen heeft, echter afhankelijk van de richting.

Om dit op te lossen brengen we een willekeurig ortogonaal assenkruis aan in R² en dus ook automatisch in de variëteit. We kunnen de hoogte nu weergeven als een functie over x en y (coördinaten van ons assenstelsel) en schrijven h=f(x,y). We nemen in deze cursus impliciet aan dat alle functies continue en oneindig afleidbaar zijn.



De steilte in de x-richting wordt dan gegeven door dh/dx of df(x,y)/dx en de steilte in de y-richting wordt dh/dy= df/dy. De steilte in een willekeurige richting r wordt gegeven door dh/dr. Als we hierop de kettingregel toepassen , vinden we dh/dr= dh/dx dx/dr + dh/dy dy/dr

De steilte in een willekeurige richting blijkt dus lineair afhankelijk te zijn van de steilte in de x-richting en die van de y-richting.

We kunnen dit ook schrijven als dh = dh/dx dx + dh/dy dy. In deze formule zit alle informatie vervat van de steilte in een bepaald punt. Meer nog dh is onafhankelijk van het assenstelsel ( er is immers geen verwijzing naar de richting meer) en dus ook de uitdrukking dh/dx dx + dh/dy dy.We hebben door het zoeken naar steilte een object gevonden dat onafhankelijk is van de coördinaten, namelijk dh . Aangezien het zo lijkt op de klassieke vectoren die we kennen, wordt dit ook een vector genoemd. Let er echter op dat deze vector een eigenschap van een punt is en niet gelegen is in de variëteit zelf.


Alhoewel het voor het vervolg van de cursus niet essentieel is, lossen we ons probleem met de berg maar verder op:


De bewegingsvergelijking F=ma kunnen we nu dus schrijven als

• 

We werken dit uit met een concreet voorbeeld , namelijk h(x,y)=xy

• 

In ons probleem vonden we dat we een richtingsafhankelijke eigenschap (de steilte) op een coördinaatonafhankelijke manier konden beschrijven, nl door de vector dh:

• 

We kunnen deze vector-constructie niet enkel gebruiken voor steilte, maar eigenlijk voor alle richtingsgebonden eigenschappen (bijv. snelheid). De coëfficienten van de vector( hier dh/dx en dh/dy) moeten immers gewoon vervangen worden door de coëfficienten die de betreffende eigenschap karakteriseren. Daarom schrijven we de vektor in het vervolg meer algemeen:

• 

De schrijfwijze waar we dx met indices voorzien is erg handig in ruimtes met veel dimensies. Je letters geraken immers vlug op. Maar er is nog een belangrijk voordeel aan deze schrijfwijze. We kunnen op deze manier de einstein notatie toepassen en krijgen een compacte elegante schrijfvorm:

• 

De dxi noemen we de basisvectoren. De vector is immers een lineaire samenstelling van de dxi.


We hebben in ons voorbeeld aangetoond dat V coördinatenonafhankelijk is, maar dit geld echter niet voor de coëfficienten en de basisvectoren. We gaan nu berekenen hoe de componenten van de vector zich gedragen bij een coördinatentransformatie.


Uit les 1 weten we dat we een coördinatentransformatie kunnen schrijven als:

• 

Deze laatste formule noemen we de transformatieregel van de contravariante vorm (let maar niet op de termen). Wat wel belangrijk is, is om even stil te staan bij de notatie. De vector zelf heeft geen indices (je kan dit zien als een symbool voor zijn onafhankelijkheid van de assenstelsels). Bij de basisvector staat de index bovenaan en bij het argument onderaan. Als je dit bekijkt als een deling vallen beide voor mekaar weg. Ook bij de transformatie regel zien we dat de indices tegenover elkaar wegvallen.


We hebben nu een object dat onafhankelijk is van het gebruikte assenstelsel. Met dit object willen we nu de wetten van de natuur gaan opstellen. Hiervoor moeten we natuurlijk bewerkingen kunnen uitvoeren met dit object en het resultaat moet natuurlijk ook coördinaatinvariant zijn.

Een eerste bewerking die we kennen is de optelling:

• 

Is deze bewerking invariant?




Natuurlijk de oplossing ( U) transformeert onder een coördinatentransformatie volgens de gevonden transformatieregel en is daardoor automatisch een vector en dus invariant.


Hoe zit het met de vermenigvuldiging? Traditioneel gebruiken we hiervoor het scalair of inwendig product:

• 

Het scalair product is dus een bewerking die van twee vectoren een scalar maakt. Deze scalar moet in elk assenstelsel hetzelfse zij als de bewerking invariant is.

• 

Oeps, het scalair product is niet invariant.. Dit stelt ons voor een groot probleem. Het inwendig product wordt immers in heel wat formules gebruikt en dient onder andere om de lengte (de norm) van een vector te bepalen. We zien deze bewerking dan ook niet graag verloren gaan in de beschrijving van het universum. Gelukkig is er een oplossing.


Tot nu toe hebben we de vectoren beschreven als een lineaire combinatie van een bepaalde basis, nl dxi. Niets houdt ons echter tegen om een ander set basisvectoren te nemen om dezelfde vector te beschrijven. Indien de basisectoren wijzigen , dan moeten de componenten natuurlijk ook veranderen zodat de vector hetzelfde object blijft.

• 

We gaan nu een basis zoeken waarbij de coordinaten in tegenovergestelde richting transformeren als de coordinaten van onze eerste basis bij een assentransformatie. Hierdoor blijft het product van de coordinaten constant en verkrijgen we een invariante vermenigvuldiging. Om het verschil tussen de ene en de andere basis aan te duiden zullen we de indices van de componenten en basisvectoren omwisselen:

• 

we kennen deze basisvectoren en deze blijken niets anders te zijn als de partiele afgeleiden, immers

• 

3.3 Alles op een rijtje en ….namen!


In onze zoektocht naar een iets dat eigenschappen weergeeft onafhankelijk van referentiesystemen , vonden we een object dat we vector noemen. Dit omdat het grote gelijkenis toont met de klassieke vector die we kennen van de lineaire algebra.

• 

Met volgende transformatieregels voor de coördinaten

• 

En voor de basis

• 

Hierdoor konden we reeds twee bewerkingen definieren die terug een object (hetzij een scalar hetzij een vector) opleverden onafhankelijk van een referentiestelsel.

• 

Merk hierbij op dat de optelling enkel geldig is indien beide vectoren dezelfde basis hebben en bij het scalair product deze een verschillende basis hebben.


In vele handboeken over ART (misschien wel allen) zul je de hierboven gevolgde weg niet terugvinden. Ze zullen spreken over rakende ruimten, duale ruimten, covariante vectoren en contravariante vectoren of éénvormen.