Leontief model

[raintjah]

Bij de studie van een gesloten leontiefmodel hebben in ... aangetoond dat het relevante stelsel (X=AX) oplossingen verschillend van de triviale nuloplossing heeft. Maar we hebben toen niet bewezen dat er een niet-nuloplossing bestaat die economisch zinvol is, dwz een oplossing waarvoor alle onbekenden een positieve waarde hebben. Bewijs dit nu met je kennis ivm eigenwaarden en eigenvectoren.

Dit moet je misschien weten: A is een vierkante stochastische matrix, de kolommen tellen op tot 1. X is een kolommatrix.

Deel van het bewijs

X=AX, 1 is dus een eigenwaarde van A. De bijhorende eigenvector X is verschillend van de nulvector, omdat een eigenvector niet gelijk kan zijn aan de nulvector.

Nu moet er nog bewezen worden dat deze eigenvector positief is, maar hoe? Misschien dat, als X een eigenvector is bij eigenwaarde 1, dan is ook |X| een eigenvector... Maar dan zou ik daar graag wat uitleg bij willen.

Alvast bedankt!

[PeterPan]

Stel de eigenwaarden zijn

\({\lambda_1,\cdots,\lambda_n}\)

met

\(\lambda_1=1\)

,

met bijbehorende eigenvectoren

\(x_1 , \cdots , x_n\)

Neem een positieve vector (i.e. alle elementen zijn positief)

\(y\)

met

\(y = \sum_{k=1}^{n} c_k x_k\)

Dan is

\(\lim_{n \to \infty} A^ny = c_1 x_1\)

Daar

\(A^ny\)

ten duidelijkste alleen maar positieve elementen bevat bestaat

\(x_1\)

uit louter positieve of louter uit negatieve getallen. Maar als ze alle negatief zijn, dan is

\(-x_1\)

een eigenvector bij 1 met louter positieve elementen.

QED

[raintjah]

Mooi bewijsje,

bedankt!