Nieuw cöordinatentype

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 251

Nieuw c

Omdat in vrijwel alle situatie Cartesische cooördinaten en/of poolcoördinaten volstaan, lijkt het niet erg zinvol om te gaan zoeken naar nog meer methoden om een punt in een vlak te duiden.

Toch heb ik dat uit hobby gedaan en ik wilde graag met jullie delen hoever ik daar in gekomen ben.

Het idee:

Wanneer van een driehoek twee punten en drie zijden zijn gegeven, ligt het derde punt vast.

Kiezen we dus twee punten (a,0) en (b,0), dan kunnen we ieder punt in het vlak
\(( - \infty , \infty )\times[0, \infty )\)
* aangeven met lengte van de twee resterende zijden van een driehoek. Deze twee lengten noem ik driehoekscoördinaten.

Enkele voorbeelden.

Voor de hand ligt het om te kiezen a=-1 , b=1 (misschien ook a=0, b=1. Maar vanwege de symmetrie kies ik voor de eerste)

Voor enkele bekende punten ziet de transformatie naar driehoekscoördinaten er als volgt uit. (Notatie: x=<p,q> met p =d(x, (-1,0)) en q = d(x, (1,0)) voor ieder punt x in het voornboemde vlak)
\((0,0) \rightarrow <1,1>\)
\((0,a) \rightarrow <\sqrt{a^2+1},\sqrt{a^2+1}>\)
\((a,0) \rightarrow <|a+1|,|a-1|>\)
Oh jammer! Absolute waarde, het lijkt er niet op dat deze coördinaten een nette lineaire ruimte gaan vormen. (Maar daar laat ik me niet door tegenhouden)

En tot slot een algemeen punt (a,b)
\((a,b) \rightarrow <d((a,b), (-1,0)),d((a,b), (1,0))> = <\sqrt{(a+1)^2 + b^2},\sqrt{(a-1)^2 + b^2}>\)
En uit curiositeit kunnen we nu een paar bekende functies schrijven in termen van driehoekscoordinaten:
\(y=x^2:\)
\((x,x^2) \rightarrow <d((x,x^2), (-1,0)),d((x,x^2), (1,0))> = <\sqrt{(x+1)^2 + x^4},\sqrt{(x-1)^2 + x^4}>\)
\(y=\sqrt{1-x^2}:\)
\((x,\sqrt{1-x^2}) \rightarrow <d((x,\sqrt{1-x^2}), (-1,0)),d((x,\sqrt{1-x^2}), (1,0))> = <\sqrt{(x+1)^2 + 1-x^2},\sqrt{(x-1)^2 +1- x^2}> \)
\(= <\sqrt{2(1+x)},\sqrt{2(1-x)}> \)
Deze verzamelingen zijn nu nog parametervoorstellingen, daarom doe ik bij de laatste de moeite om hem te schrijven als vergelijking in de vorm q=f(p).
\(p= \sqrt{2+2x}\)
\( p^2= 2x+2\)
\(\frac12 p^2 -1 = x\)
invullen in q:
\(q = \sqrt{2(1-(\frac12 p^2 -1}\)
\(q = \sqrt{4-p^2}\)
Toch aardig hoeveel dat lijkt op dezelfde vergelijking in Cartesische coördinaten.

En ik maak nog melding van polaire driehoekscoördinaten, waar we gebruik maken van de eigenschap dat twee hoeken en één lengte het derde punt van de driehoek vastleggen.

Notatie: { alfa.gif , beta.gif} waarin alfa.gif de hoek is tussen de lijn door (-1,0) en de positieve x-as en beta.gif de hoek tussen de lijn door (1,0) en de positieve x-as.

Op polaire driehoekscoördinaten kom ik nog terug als er genoeg interesse is.

Laat me weten of jullie nog aardigheden of elegante uitdrukkingen met driehoekscoördinaten kunnen vinden.

* óf:
\(( - \infty , \infty )\times(-\infty, 0]\)
, maar niet in allebei. Ik kies arbitrair voor de eerste.

We kunnen wel afspreken dat -<a,b> of <-a,-b> de spiegeling van <a,b> in de x-as is. Zo kunnen we via een truukje toch heel R<sup>2</sup> omschrijven.

Dit is misschien iets om in latere posts op in te gaan.

Re: Nieuw c

Je kunt je de 2 punten ook bewegend voorstellen, b.v. punt 1 is de plaats van een bewegend ruimteschip 1 en punt 2 van ruimteschap 2.

Berichten: 251

Re: Nieuw c

Waarom zou je dat willen?

Dat is hetzelfde als met de oorsprong van cartesische coördinaten gaan lopen sjouwen.

Reageer