Bestaat er zoiets als infiniteitsmathematica?

[Dr. Gonzo]

ik ken niks van wiskunde hoor, maar wiskunde heeft het moeilijk met het begrip "oneindig", daarom vroeg ik me af of er zoiets bestaat als inifiniteits theorieën ?.??

bvb

"In oneindigheid is elke mogelijke denkbare combinatie aanwezig"

"hoe groot iets ook moge zijn, tov van oneindig blijft het oneindig klein"

of dergerlijke axioma's ?

ik heb eens wat gespeeld:

ja, ik fantaseer graag

bestaan er theorieën die oneindigheid gebruiken en zich daar op concentreren??



even spelen in de speeltuin "wat is het kleinste ???"

ik geloof dat er een "kleinste is"en dat het afmetingen heeft, de bouwstenen waarmee iets oneindig groot is opgebouwd ...

trouwens, elke bouwsteen heeft een afmeting en is dus tov het heelal opnieuw onbestaande. ik geloof niet dat oneindigheid in

het heelal in twee richtingen actief is ... maar eigenlijk, aangezien het afmetingen heeft, is het ten aanzien van het heelal



sowieso al oneindig klein eigenlijk .... dus is er toch sprake van oneindigheid in twee richtingen ... alles wat een afmeting



heeft en dat eindig is, kan ten aanzien van het heelal als oneindig klein aanschouwd worden .... iets hoeft niet in

afmetingen oneindig klein te zijn om oneindig klein te zijn ... voor ons mensen is echter alles wat wij willen zien als

oneindig klein, vanuit ons perspectief, eindig klein, want zoalng het materie is zal het bij kleiner worden materie blijven

en dus eindig, iets dat voor ons mensen "oneindig klein " is, bestaat fysiek niet niet meer, wij zijn oko oneindig klein tov

het heelal, maar wij bestaan wel nog, wij kunnen tov iets oneindig klein (wat niet bestaat tov ons) trouwens ook nooit

oneindig groot zijn ... voor ons bestaan we nog, en als je nu een deeltje neemt dat voor ons oneindig klein zou moeten zijn, dan hodt het gewoonweg op met te bestaan ... voor zichzelf ... omdat het zich moet verkleinen tov ons ... iets wat tov ons oneindig klein is is gedefinieerd door het onbestaande, want anders zou het eindig klein zijn. het hangt er dus van af in welke richting de oneindigheid zich uitstrekt en of je zelf eindig dan al oneindig bent.

samenvatting:

wij zijn oneindig klein tov het heelal

tov ons is iets oneindig klein een paradox

iets is oneindig klein …

-tov van iets eindig: onmogelijk (of het houdt op te bestaan)

-tov van iets oneindig: alles wat afmetingen heeft en eindig is

Iets is oneindig groot

-tov van iets eindig: ok

-tov iets oneindig: malfunction

conclusies:

*je kan enkel oneindig klein zijn als je een afmeting hebt en vergeleken wordt met iets oneindig

*je kan enkel oneindig groot zijn als je vergeleken wordt met iets dat een afmeting heeft

"het heelal is oneindig groot, niet oneindig klein"

[The Black Mathematician]

Op zich heeft wiskunde geen problemen met oneindigheden, er bestaat een theorie over oneindigheden die voor zover we weten nog geen inconsistenties bevat: verzamelingentheorie.

Vroeger had men problemen met het concept infinitesimalen, want iets delen door iets dat niet 0 is maar wel oneindig klein is inderdaad een beetje raar. Dit heeft men opgelost door het invoeren van limieten op strikte wijze. Je kan wel delen door h waarna je kijkt naar hoe je het resultaat eruit ziet als je h naar 0 laat gaan. Dit hoeft niet in alle gevallen oneindig te zijn. Zo kun je toch "delen" door iets dat oneindig klein is.

Wat ook leuk is: Robinson heeft de niet-standaard analyse ontdekt, waarin er iets als infinitesimalen ingevoerd wordt op een consistente wijze. Hoe dit precies werkt weet ik ook niet, maar wellicht biedt wikipedia meer uitleg.

[PeterPan]

Een functie

\(f:\rr \to \rr\)

beeldt op voor de hand liggende manier rijen reële getallen (

\(R\)

) af op rijen reële getallen

\(f:R\to R\)

.

\(R\)

is een ring.

Een maximaal ideaal

\(M\)

in

\(R\)

(lemma van Zorn) genereert op voor de hand liggende wijze een afbeelding

\(R \to R\setminus M\)

.

\(R\setminus M\)

is een lichaam (de hyperreële getallen).

\(O\)

, de verzameling is van naar 0 convergerende rijen (nulrijen), worden door

\(R \to R\setminus M\)

afgebeeld op de infinitesimalen.

Er geldt:

\(f:\rr \to \rr\)

is continu in

\(a\)

, dan en slechts dan als voor iedere infinitesimaal

\(\delta\)

geldt dat ook

\(f(a+\delta) - f(a)\)

infinitesimaal is.

[A.Square]

Op zich heeft wiskunde geen problemen met oneindigheden, er bestaat een theorie over oneindigheden die voor zover we weten nog geen inconsistenties bevat: verzamelingentheorie.

Nochtans is de continuiteitshypothese onbewijsbaar. Met én zonder het keuzeaxioma.

Bron:

http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice

[PeterPan]

Nochtans is de continuiteitshypothese onbewijsbaar. Met én zonder het keuzeaxioma.

De continuum hypothese is een axioma.

[PeterPan]

Er zijn veel logici die niet geloven in de continuum hypothese.

Ze vermoeden dat er nog een keer een equivalent, veel eenvoudiger, axioma gevonden waardoor hun gelijk duidelijk wordt.

[EvilBro]

De continuum hypothese is een axioma.

Hoezo?

[TD]

De hypothese is onafhankelijk van de gebruikelijke set van axioma's van de verzamelingenleer (Zermelo-Fraenkel, evt. met het keuzeaxioma). Je kan het dus bijvoorbeeld toevoegen als axioma (denk ik).

[PeterPan]

Net als in het keuzeaxioma, heeft Gödel aangetoond dat de continuum hypothese consistent is met de (standaard) verzamelingstheorie.

Cohen heeft vervolgens aangetoond dat ook de ontkenning van de continuum hypothese consistent is met de (standaard) verzamelingstheorie.

En dus is de continuum hypothese onafhankelijk van de verzamelingstheoriem en dus een axioma.

Maar in tegenstelling tot het keuzeaxioma is de continuum hypothese niet aangenomen als een axioma in de verzamelingstheorie. In plaats daarvan nemen wiskundigen genoegen met deze onvolledigheid in de verzamelingstheorie of ze proberen intuitievere axioma's te vinden die helpen bij de beslissing voor of contra de continuum hypothese.

[EvilBro]

En dus is de continuum hypothese onafhankelijk van de verzamelingstheoriem en dus een axioma.

Ik geloof niet dat ik het hier helemaal mee eens ben. Ik ben van mening dat het volgende een axioma zou kunnen zijn van een vorm van verzamelingstheorieen: "de continuum hypothese is waar (of onwaar als je dat liever hebt)'. Iets soortgelijks geef je ook weer in de rest van je post (waar het gaat over dat het niet is aangenomen als axioma).

[TD]

Dat lijkt me een detail en ligt er maar aan hoe je de continuumhypothese formuleert.

Als ik even de versie citeer zoals die op wikipedia staat:

There is no set whose size is strictly between that of the integers and that of the real numbers.

Waarbij met size natuurlijk kardinaliteit wordt bedoeld. Dan lijkt me dat voldoende...

[The Black Mathematician]

Nochtans is de continuiteitshypothese onbewijsbaar. Met én zonder het keuzeaxioma.

Bron:

http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice

Ik zie niet in wat dit überhaupt met infinitesimalen te maken heeft.

[TD]

Het was me nog niet opgevallen maar nu je het zegt; we hebben inderdaad een vreemde wending gemaakt

[EvilBro]

Ik begin nu toch te twijfelen of er uberhaupt een zinnig axioma van te maken is (wat zijn bijvoorbeeld de gevolgen van dit axioma als je het toevoegd aan ZF? verandert er dan wel iets?). Als we alles dat niet strijdig is met een bepaald systeem in dat systeem een axioma gaan benoemen dan lijkt mij het hek van de dam. Als we alles dat niet strijdig is met minstens een systeem een axioma gaan noemen dan wordt het woord 'axioma' betekenisloos.

[TD]

Je kan het als axioma toevoegen, dat hoeft niet. Doe je dat wel, dan bedrijf je wiskunde (meer bepaald verzamelingenleer) waar de kardinaliteit van de opvolger is van die van , iets waar je anders geen uitspraak over kan doen (het is in ZF of ZFC, "onbeslisbaar").

Wat is precies je bezwaar tegen het eventueel aannemen hiervan als axioma? Overigens wordt het doorgaans niet gedaan (het toevoegen van deze hypothese als axioma voor de verzamelingenleer), zoals PeterPan reeds opmerkte.