Noem die matrix
\(A\)
.
Dat 1 een eigenwaarde is is snel in te zien.
De som van de elementen in elke rij van de matrix
\(A-I\)
is 0.
Dat betekent dus, dat alle kolommen bij elkaar opgeteld de nulvector geeft.
Dus de kolommen zijn afhankelijk en de matrix
\(A-I\)
is singulier, d.w.z. 1 is een eigenwaarde.
Stel
\(A\)
heeft een eigenwaarde
\(\lambda > 1\)
.
Elk element van de vector
\(Ax\)
(x willekeurig) is van de vorm
\(p_1x_1+\cdots + p_nx_n\)
,
waarbij
\((p_1,p_2,\cdots,p_n)\)
een rij van de matrix is.
Je kunt dan
\(p_1x_1+\cdots + p_nx_n\)
zien als een kansverdeling, waarbij je met kans
\(p_i,\ \ \ x_i\)
trekt.
Die som is altijd kleiner dan het maximale element
\(Z\)
van de rij
\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)
.
Dus als
\(Ax = b\)
, dan is
\(b_i \le Z\)
voor elke
\(i\)
Dus als
\(\max\(\x_1,x_2,\cdots, x_n\} \le Z\)
, dan is
\(\max\{(Ax)_1,(A_x)_2,\cdots,(Ax)_n\} \le Z\)
.
en dus
\(\max\{(A^kx)_1,(A^k_x)_2,\cdots,(A^kx)_n\} \le Z\)
.
Echter als
\(Ax = \lambda x\)
, dan is
\(A^kx = \lambda^k x\)
,
\(\lim_{k\to \infty} \lambda^k = \infty\)
als
\(\lambda > 1\)
.
en dus
\(\max\{(A^kx)_1,(A^k_x)_2,\cdots,(A^kx)_n\} \not \le Z\)
voor
\(k\)
groot genoeg.
Danku!!! 
