De gammafunctie

[In physics I trust]

http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/analyse1.pdf

p. 121, bovenaan (pdf nummering 122)

Ik zie waarom dat de integraal begrensd is, als ik zou weten waarom 0<1-p<1 is. Als ik dat weet, dan begrijp ik de convergentie ook (je hebt een (x-0)^(1-p) gevonden en (1-p) ligt tussen 0 en 1, dus convergent wegens de stellingen op het vorige blad).

[TD]

Als 0<p<1 dan 0>-p>-1 dus ook 1>1-p>0 en dat is 0<1-p<1.

Intuïtief toch snel te zien, als p ligt tussen 0 en 1, dan 1-p ook.

[In physics I trust]

Dat had ik wel gezien, maar ik was een beetje in de war: laten we nu x variëren of laten we nu p variëren?

Maar nu heb ik het door: variabele x, en parameter p. Dus worden de mogelijkheden voor de integraal besproken, naargelang de waarde van p. Maar waarom (dat zie ik niet) is de integrand niet begrensd voor 0<1-p<1 ?

[TD]

Maar waarom (dat zie ik niet) is de integrand niet begrensd voor 0<1-p<1 ?

Nee, dat staat er niet. De integraal is niet begrensd voor 0<p<1, want dan komt die x in de noemer.

De integrand wordt dan vermenigvuldigd en geschreven zoals in 7.1.10, daar komt die 1-p vandaan.

[In physics I trust]

Sorry, ik ben echt traag van begrip...

dan krijgen we in de noemer een product: x tot een zekere macht vermenigvuldigd met e tot de macht x. Aangezien de noemer erg groot zal worden, gaat de breuk in zijn geheel toch naar 0, en dus begrensd?

[TD]

Nee, in de buurt van 0 gaat die e-macht naar 1... Dus als die x in de noemer staat (tot een zekere positieve macht), dan gaat de noemer naar 0 voor x naar 0, breuk naar oneindig. Dus als je naar de oorspronkelijke integraal kijkt, is die niet begrensd nabij 0 voor 0<p<1.

[In physics I trust]

Ok, dat begrijp ik nu. Ik hoop dat ik nu geen domme vraag stel, maar voor p 0<p<1 is de integraal zelf toch convergent, hé? Dat hebben we toch aangetoond door stelling 7.1.10, niet?

[TD]

Dat is wat daaronder getoond wordt. Voor 0<p<1 is de integraal niet begrensd, dus convergentie is na te gaan. Maar je kan een alfa vinden zodat aan stelling 7.1.10 voldaan is, die alfa is precies 1-p want dan is die limiet (zoals verder in het voorbeeld) eindig.

[In physics I trust]

Dat begrijp ik, wederom bedankt.

Laatste vraagje over deze vreemde functie: het lijkt alsof je met twee variabelen zit: de t uit het voorschrift, die, zoals bij een normale functie, de definitieverzameling doorloopt, en dan nog de p, die je in het voorschrift invult...

[TD]

Die t is de integratievariabele, die komt niet voor in het voorschrift van de functie. Bij een bepaalde integraal 'verdwijnt' die variabele immers, het is ook maar een 'dummy variabele'. Zo kan ik de functie met voorschrift y(x) = x² ook schrijven als:

\(y(x) = \int_0^x {2t} \,\mbox{d}t\)

Reken maar uit: geen t, precies y(x) = x². Nu is dat voor dit eenvoudig voorschrift nogal onzinnig om een integraal te gebruiken, maar het kan dus wel. Zo kan je dan ook ingewikkeldere functies (zoals de Gammafunctie) maken die je wel met zo'n integraal kan definiëren, maar waarvan je de integraal niet zomaar symbolisch kan uitrekenen zoals hierboven wel het geval is.

[In physics I trust]

Door jou ga ik er mss nog door zijn op analyse!

[TD]

Dat zal toch wel lukken denk ik, ook zonder mijn hulp ](*,)

Genoeg voor vandaag, ik wou er een uur geleden al mee stoppen :eusa_whistle:

[In physics I trust]

Sorry...

Ik droom nog even verder over wiskunde ;=)

[TD]

Niks sorry, niemand verplicht me te blijven ](*,)

Jullie waren toevallig met twee en in beide topics had ik al een tijdje het gevoel dat het bijna afgehandeld was - bleek dan toch nog even door te gaan :eusa_whistle: