Kwadratische vormen (en kwadrieken)

[In physics I trust]

http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/linea.pdf

"De kwadratische term is een kwadratische vorm in H (op een factor 2 na)." (p. 143 pdf-nummering)

Ik zie wel dat de factor 1/2 (zoals in de Taylor-ontwikkeling) verdwenen is, maar wat is de betekenis daarvan?

Alvast bedankt!

[TD]

Wat bedoel je met "betekenis"? Volgens mij zoek je iets, dat er niet is... Qua vorm, is het zoals een kwadratische vorm, op die factor na. Maar voor het definiet zijn, maakt dat niet uit. Je kan dus wat je weet over het definitief zijn van kwadratische vormen, hierop toepassen en een interpretatie geven m.b.t. extreme waarden van scalaire functies (analyse!).

[In physics I trust]

OK, die factor 2 heeft dus geen speciale betekenis.

Er wordt juist opgemerkt dat die factor 2 er niet staat, wat echter geen belemmering vormt voor het gebruiken van hetgeen we weten over kwadratische vormen (omdat die factor 2 niets aan het teken).

Bedankt!

[TD]

(omdat die factor 2 niets aan het teken...

...verandert).

Inderdaad :eusa_whistle:

[In physics I trust]

:eusa_whistle:

Dan wordt er gesteld dat, naar analogie met de redenering erboven, dat de kwadratische vorm geschreven kan worden in volgende matrixnotatie:

q(H) = H^tBH

Dat begrijp ik. Klopt het dat er in die matrix dan op positie i,j het element

\(b(\vec{e_i},\vec{e_j})\)

staat?

[TD]

Ik zou misschien het begin van die paragraaf moeten herlezen om te kunnen volgen; maar louter voor het stuk over extreme waarden van scalaire functies: is daar een basis met e's gekozen...? Volgens mij staat daar alles wat je nodig hebt. De H's zijn vectoren van h(i)'s en B staat er toch gegeven? Die bevat precies de tweede orde partiële afgeleiden van f in A.

[In physics I trust]

Neen, er is niet expliciet zulke basis gekozen, maar ik redeneerde naar analogie met de laatste regel van p. 134 (nummering onderaan de bladzijde), om te bedenken wat er eigenlijk in de matrix van een kwadratische vorm staat.

Maar als je het hier louter beschouwt vanuit het oogpunt van extreme waarden, staat er idd alles wat je nodig hebt.

Maar misschien komt dat op hetzelfde neer?

[TD]

Als je het vergelijkt met de laatste uitdrukking op p. 134, dan zijn x en y nu de h-vectoren en de A van hier is de B van verderop, met die tweede orde partiële afgeleiden (let op: A heeft daar een andere betekenis).

[In physics I trust]

Ja, A is het stationair punt...

En achter de expliciete notatie van de matrix B (met tweede orde partiële afgeleiden, afkomstig uit de Taylorreeksontwikkeling), wordt er een bespreking gedaan van de verschillende mogelijkheden voor de kwadratische vorm.

A stationair is toch de reden dat g₁(0)' = 0, niet? Als t=0, dan wordt er geëvalueerd in A, A is stationair, en dus is de eerste afgeleide 0. Klopt dat?

Maar ik heb vooral een probleem bij wat de notaties betreft: H₁ is een matrix, (maar van welke afmeting?), en h_1,iweet ik niet van wat het exact voorstelt...

[TD]

A stationair is toch de reden dat g₁(0)' = 0, niet? Als t=0, dan wordt er geëvalueerd in A, A is stationair, en dus is de eerste afgeleide 0. Klopt dat?

Klopt.

Maar ik heb vooral een probleem bij wat de notaties betreft: H₁ is een matrix, (maar van welke afmeting?), en h_1,iweet ik niet van wat het exact voorstelt...

H is de matrix van h(i)'s, de aangroeien h in richting van de i-de coördinaat (op een totaal van n); H is dus nx1.

[In physics I trust]

Daar schiet ik al een flink stuk mee op, bedankt! (Ik heb er een beetje problemen mee omdat we nog geen Taylorontwikkeling hebben gezien van functies in meerdere veranderlijken). Bovendien lijkt het zo vreemd te naderen naar H1, als je weet dat H1 een matrix is.

"g1 bereikt dus een minimum in 0. Dit betekent dat f een minimum bereikt in A als we H enkel

laten variëren in de H1-richting.

g2 bereikt dus een maximum in 0, en f bereikt een maximum in A als we H enkel laten variëren in de H2-richting.

We kunnen dus concluderen dat f geen extremum bereikt in A."



Dit betekent toch dat je, als je de omgeving van A bekijkt, je je in 'een glooiend landschap bevindt', maar niet op een top staat, of niet in een dal staat, omdat er richtingen zijn, waarin je omhoog moet, vertrekkende uit A, en richtingen waarin je omlaag moet, vertrekkende uit A?

[TD]

Daar schiet ik al een flink stuk mee op, bedankt! (Ik heb er een beetje problemen mee omdat we nog geen Taylorontwikkeling hebben gezien van functies in meerdere veranderlijken). Bovendien lijkt het zo vreemd te naderen naar H1, als je weet dat H1 een matrix is.

Ja nadert niet naar H1, je nadert naar A volgens (de richting) H1 waarbij je die aangroei naar 0 laat gaan via de parameter t.

"g1 bereikt dus een minimum in 0. Dit betekent dat f een minimum bereikt in A als we H enkel

laten variëren in de H1-richting.

g2 bereikt dus een maximum in 0, en f bereikt een maximum in A als we H enkel laten variëren in de H2-richting.

We kunnen dus concluderen dat f geen extremum bereikt in A."



Dit betekent toch dat je, als je de omgeving van A bekijkt, je je in 'een glooiend landschap bevindt', maar niet op een top staat, of niet in een dal staat, omdat er richtingen zijn, waarin je omhoog moet, vertrekkende uit A, en richtingen waarin je omlaag moet, vertrekkende uit A?

Ja, zoiets heet een zadelpunt; je kan het beschouwen als het meerdimensionale analoge van een buigpunt.

[In physics I trust]

Weerom bedankt!

"β is een continue functie, gedefinieerd op een omgeving van A. Beperk β tot een gesloten bol

V met middelpunt A en straal r, volledig binnen deze omgeving gelegen. Dan bereikt β, beperkt tot V, een maximum, dit volgt weer uit [5, §I.4.3]. "

Nu hebben we die stelling niet gezien, en de verwijzing is blijkbaar niet volledig up-to-date, waardoor ik de stelling nergens vind.

Daarom begrijp ik deze redenering (alweer) niet zo goed. Kan u me weer uit de nood helpen?

[TD]

De juiste verwijzing ken ik ook niet, maar uit de context leid ik af dat het wellicht gaat om de stelling die garandeert dat een continue functie op een gesloten en begrensd domein, steeds een minimum en een maximum bereikt.

[In physics I trust]

OK, dan ben ik er bijna, bedankt!

Voor ||H|| < min{3q0/m, r} geldt dus dat f (A+H) > f (A) en f bereikt een minimum in A.

=> Waar komt die 3 vandaan?

Dat komt voor mij uit de lucht vallen. Er moet ergens een afschatting gebeuren, maar ik zie niet hoe dat gebeurd is.

In de regel erboven moet ik kunnen aanvullen met

...>= ...>=...>...=0

en dan is het bewezen. Maar hoe dat moet, is me een raadsel. Een eerste keer kan je q(U) vervangen door q0, maar verder wil het niet lukken.

Hebt u nog een idee?