Basaal telprobleem (i.c.m. driehoek van pascal)

[Fons]

Dag eenieder van het WSF,

Ik ben druk bezig mijn elementaire kennis van telproblemen aan het oppoetsen. Ik gebruik hiervoor de cursus van wiswijzer.nl; de link:

Wiswijzer Cursus Telproblemen

Nu is het volgende mij nog niet helemaal helder :

De vragen:

1. Een gezin heeft 5 kinderen. Op hoeveel verschillende manieren kan het gezin zijn samengesteld?

A: Volgorde speelt wel belang. (32 manieren)

B: Volgorde speelt geen belang. (6 manieren)

2. Voor een gezin met 4 kinderen met 2 jongens en 2 meisjes zijn er hoeveel verschillende mogelijkheden?

A: Volgorde speelt wel belang. (6 manieren)

B: Volgorde speelt geen belang. (? manieren)

Men suggereert het gebruik van de driehoek van Pascal.

We kunnen die dan ook tekenen. (Zie wiswijzer.)

Mijn werkwijze:

1.A. Volgorde is van belang:

Voor het eerste kind, zijn er twee mogelijkheden. Idem dito voor het tweede kind en zo verder. 2*2*2*2*2=2^5=32

We zien dit terug in de driehoek van Pascal als: 1+5+10+10+5+1=32 (klopt dit???).

1.B. Volgorde is niet van belang:

Hmmm; geen idee. Ik kom niet verder dan dat het optellen van het aantal getallen van de laatste rij toevallig (?) 6 als resultaat heeft. Wie wil mij hier wat meer duidelijkheid over voorzien?

2.A. Volgorde is van belang:

Uit de opgave blijkt al een deel van de verhouding; sowieso 2 jongens en 2 meisje. Dat betekent dat een deel van de driehoek van Pascal geen optie meer is. (Voorlaatste rij: 1x 3 & laatste rij: 6 en 1x 4)

Optellen van de laatste rij geeft 1+4+1=6 (6 en 4 zijn immers vervallen)

2.B. Volgorde is niet van belang:

Zie 1.B.

Wie van jullie wenst mij van wat inzichten te voorzien?

Bij voorbaat heel hartelijk dank voor jullie moeite en interesse!!

Vriendelijke groeten,

Fons

[klazon]

1B lijkt me niet zo moeilijk. Schrijf gewoon alle combinaties jongen/meisje uit:

5+0

4+1

3+2

2+3

1+4

0+5

Totaal 6 mogelijkheden.

[EvilBro]

Bekijk het volgende eens:

\((j+m)^2 = 1 \cdot j^2 + 2 \cdot j \cdot m + 1 \cdot m^2\)

Er is 1 mogelijke samenstelling met twee jongens.

Er zijn 2 mogelijke samenstellingen met een jongen en een meisje.

Er is 1 mogelijke samenstelling met twee meisjes.

Er zijn 3 mogelijke samenstellingen als je niet naar de volgorde kijkt.

\((j+m)^3 = 1 \cdot j^3 + 3 \cdot j^2 \cdot m + 3 \cdot j \cdot m^2 + 1 \cdot m^3\)

Er is 1 mogelijke samenstelling met drie jongens.

Er zijn 3 mogelijke samenstellingen met twee jongens en een meisje.

Er zijn 3 mogelijke samenstellingen met een jongen en twee meisjes.

Er is 1 mogelijke samenstelling met drie meisjes.

Er zijn 4 mogelijke samenstellingen als je niet naar de volgorde kijkt.

Zie je het verband nu?

[JWvdVeer]

Vraag 1:

A:

Heb je het vaasmodel wel eens gehad? Het is zo'n zelfde vraag als:

Stel, je hebt een vaas met rode en met witte knikkers. Hieruit pak je vijf knikkers. Hoeveel verschillende combinaties kun je hieruit pakken?

Dat je hier de driehoek van Pascal voor gebruikt is volledig terecht, en je komt inderdaad op 32 uit.

B:

Je het twee mogelijkheden, jongen of meisje. In een gezin met vijf kinderen kun je dus 0, 1, 2, 3, 4 of 5 jongens hebben. Dit zijn dus zes mogelijkheden.

Vraag 2:

A.

Kun je gewoon in driehoek van Pascal opzoeken, en is inderdaad terecht 6 (jjmm, jmjm, jmmj, mjjm, mjmj, mmjj).

B.

Hoe kan een gezin van vier kinderen, waarvan 2 jongens zijn en 2 meisjes er anders uitzien dan 2xj + 2xm? Lijkt mij niet dat dit anders kan, als de volgorde niet van belang is. Dus heb je één omgelijkheid.

Kun jij gebruik maken van de grafische rekenmachine? Of moet je gebruik maken van de driehoek van Pascal?

[Fons]

Allereerst allen heel hartelijk bedankt voor de super vlugge en zeer interessante antwoorden!! (Ik word verwend!)

@EvilBro: prachtig! Dit maakt de driehoek van Pascal opeens een heel stuk 'logischer'.

@JWvdVeer:

1A 2 voor de eerste, 2 voor de tweede etc. Dat geeft 2^5 en dus 32 combinaties in totaal.

1B Ofwel: 0j, ofwel 1j, ofwel 2j, ofwel 3j, ofwel 4j, ofwel 5j: 1+1+1+1+1+1=6 mogelijkheden

2A Antwoord is het resultaat van "4 boven 2" / 4nCr2 = 6 (Antwoord lees je af uit de driehoek van Pascal = resultaat allerhande nCr's)

2B Als de volgorde niet van belang is, kun je maar op 1 manier 2j en 2m hebben.

Ik denk dat ik het nu begrijp. Op naar de volgende !

MERCI encore!

Fons