Kelvindruppelaar

[jkien]

Voor de grootteorde van de lading per druppel moet ik eerst de capaciteit schatten tussen de druppel (a) en de cilinder (b) onder de druppel. Ik benader het met de capaciteit tussen de druppel en een denkbeeldige bolschaal (e) om die druppel, waarvoor de formule bekend is: C = 4πε / (1/r_a - 1/r_e).

Voor een halve bol wordt dat de helft, en als r_e veel groter dan r_a is wordt dat C = 2πε r_a.

Wegens Q = CV is de lading per druppel dan Q = 2πεV r_a. Verrassend: de geleidbaarheid van het water maakt niet uit, zolang het geen isolator is. Zout in het water versnelt de elektriciteitsproductie niet. De druppeldiameter maakt wel uit, een bepaald debiet verdelen over veel kleine druppeltjes versnelt de elektriciteitsproductie.

Bovendien geeft dit model een indicatie van de gunstigste plaats voor de druppelvorming: de ingang van de cilinder. Druppelvorming op een hogere plaats resulteert in een kleinere C en Q, dus een vertraagde elektriciteitsproductie.

Kelvin2.png (5.16 KiB) 960 keer bekeken

[jkien]

Waarom zou een OH- ion neutraal worden als het in een metalen bak valt?

Voor het definitieve antwoord zul je wellicht water met een indicator erin door deze installatie moeten laten lopen. Als je dat niet-reactieve emmers neemt onderaan zou daarin de concentratie OH- cq H3O+ moeten oplopen, tot het moment dat een vonk overspringt. Dat zou dus een effect moeten geven waarbij de indicator steeds verder verkleurt, maar op het moment van vonkoverslag weer 'neutraal' aangeeft. Het zou me ten zeerste verbazen als dit daadwerkelijk het effect was.

Zoals gezegd, zodra er stroom loopt naar de condensator van de vonkbrug (wat na iedere opgevangen druppel gebeurt, zonder vonk) moet er een redoxreactie plaatsvinden bij de elektrode. In de H⁺-opvangbak zal bij die reactie H⁺ verdwijnen. De bak blijft vrijwel pH-neutraal dankzij de redoxreactie.

Als een druppel in de bak valt verschuiven de H⁺-ionen die in de druppel zaten door de elektrostatische kracht een klein stukje naar buiten zodat de concentratie gelijk wordt aan die van de bak. De elektrostatische kracht in de gehele bak verdwijnt zodra er bij de elektrode evenveel H⁺-ionen afgevoerd zijn als de druppel had toegevoerd, wat snel gebeurd kan zijn (slechts 1 nA; en de reisafstand is mikroscopisch klein, de afgevoerde ionen zijn uiteraard niet dezelfde als de laatst toegevoerde ionen).

[Benm]

Ik ben bijna geneigd zo'n ding te gaan bouwen om het te testen

Maar dat is zo'n project dat 2 uurtjes werk lijkt en vervolgens een maand klooien kost voordat het daadwerlijk werkt.

[jkien]

Volgens mij is de onderstaande elektrische stroomkring gelijkwaardig met de Kelvindruppelaar. De druppel op verschillende afstanden van de cilinder is vervangen door een plaatcondensator met een variabele plaatafstand.

Je kunt de valweg van een druppel verdelen in 3 trajecten:

1) De druppel, verbonden met de waterstraal erboven, daalt vanuit het reservoir tot aan de ingang van de cilinder. De schakelaar is in stand 1, de capaciteit van C_L groeit tot zijn maximale waarde. De energie van C_L groeit van nul naar de waarde E₁ = ½ Q² / C_max.

2) De druppel raakt los van de straal en valt tot net boven het wateroppervlak. De schakelaar is in stand 2. Bij de plaatcondensator C_L groeit de plaatafstand, waardoor de capaciteit van C_L sterk afneemt. De energie van C_L groeit naar de waarde E₂ = ½ Q² / C_min. De kinetische energie van de druppel bereikt de eindwaarde (mgh - E₂).

3) De druppel valt in de opvangbak. De schakelaar is in stand 3. C_L verliest zijn lading. De kinetische energie van de druppel wordt omgezet in warmte.

De stroomkring van de Kelvindruppelaar bevat geen evidente stroom- en spanningsbronnen, maar C_L is toch een generator van elektrische energie. Bij stap 2 is een externe kracht nodig om de plaatafstand te vergroten, en de arbeid van die kracht wordt omgezet in elektrische energie; W = E₂ - E₁.

Kelvin5.png (7.42 KiB) 959 keer bekeken

(L links; R rechts; a condensatorplaat die de druppel representeert; b condensatorplaat die de cilinder representeert; C_M condensator van de vonkbrug; V potentiaal; f plaats van redoxreactie. 123 is een schakelaar met drie standen)

[Bartjes]

Ik begrijp niet goed wat in je schema's wat voorstelt. Maar de variant met feedback is wel interessant wanneer je het als een werkelijk te bouwen elektrisch circuit beschouwt. Zou je met een dergelijk circuit enkel door het bedienen van de schakelaars en variabele condensatoren een hoogspanning over condensator C_M kunnen opbouwen?

[jkien]

In dit bericht zie je dat druppel a en cilinder b een condensator vormen. In dit bericht staan dezelfde druppel a en cilinder b getekend als twee condensatorplaten.

Ik denk inderdaad dat het elektrische circuit van dit bericht hoogspanning opbouwt net zoals de echte Kelvindruppelaar. Al het water dat ionen kan geleiden is vervangen door koper dat elektronen geleidt.

[Bartjes]

In dit bericht zie je dat druppel a en cilinder b een condensator vormen. In dit bericht staan dezelfde druppel a en cilinder b getekend als twee condensatorplaten.

OK - maar er zijn nog wel meer onderdelen van het toestel die een rol spelen.

Ik denk inderdaad dat het elektrische circuit van dit bericht hoogspanning opbouwt net zoals de echte Kelvindruppelaar. Al het water dat ionen kan geleiden is vervangen door koper dat elektronen geleidt.

Los van de vraag of dat vervangingsschema correct is, lijkt het mij wel interessant om te zien wat er in zo'n circuit gebeurt.

[jkien]

Los van de vraag of dat vervangingsschema correct is, lijkt het mij wel interessant om te zien wat er in zo'n circuit gebeurt.

Je hebt er niets bijzonders voor nodig. Als je aluminiumfolie onder de bodem van een drinkglas plakt heb je een elektrofoor. Op tafel plak je een even groot stukje aluminiumfolie, en daaroverheen plakbank als isolator. Dit is de eerste variabele condensator, C_L. Op dezelfde manier maak je een tweede, C_R. Plak nog een paar stukjes aluminiumfolie op tafel en verbind ze met snoertjes. Neem in beide handen een drinkglas en ga daarmee in de 1-2-3 volgorde stempelen.

KelvinAlu.JPG (142.63 KiB) 963 keer bekeken

[Bartjes]

Dat je de spanning over een condensator kunt opvoeren door de capaciteit te verminderen begrijp ik wel. Immers:

C = Q/V en Q is hier constant.

De vraag is alleen of je daar in je schakeling een cumulatief (i.p.v. eenmalig) gebruik van kunt maken. Ik sluit het niet uit, maar vanzelfsprekend vind ik het ook niet.

Overigens is er ook voor de Kelvin-druppelaar een maximum haalbare lading in de opvangbakjes, namelijk wanneer de elektrostatische afstoting van de opvangbakjes zo sterk wordt dat de zwaartekracht niet meer volstaat om de druppeltjes in het juiste bakje te deponeren. Ik vraag me af of dat in je vervangschema is terug te vinden.

[jkien]

De vraag is alleen of je daar in je schakeling een cumulatief (i.p.v. eenmalig) gebruik van kunt maken. Ik sluit het niet uit, maar vanzelfsprekend vind ik het ook niet.

Elke stroom, elke lading en elke condensator van de Kelvindruppelaar zit ook in de stroomkring van dit bericht. Het is een op een gecopieerd. Wat dat betreft verwacht ik hetzelfde cumulatieve gedrag.

Overigens is er ook voor de Kelvin-druppelaar een maximum haalbare lading in de opvangbakjes, namelijk wanneer de elektrostatische afstoting van de opvangbakjes zo sterk wordt dat de zwaartekracht niet meer volstaat om de druppeltjes in het juiste bakje te deponeren. Ik vraag me af of dat in je vervangschema is terug te vinden.

De zwaarte-energie van een druppel correspondeert in het model met de veerenergie waarmee de schakelaar van stand 2 naar 3 springt. Die veerenergie kan in principe onvoldoende zijn om de elektrostatische afstoting van de opvangbak te overwinnen.

Op punt g in het diagram kan een diode worden toegevoegd. Je kunt in principe V_L(t) kunstmatig verhogen zodat de afstoting te sterk is voor de constante zwaartekracht. In dat geval worden er in het stroomdiagram bij g als het ware druppels de verkeerde kant op geblazen, vanuit de opvangbak omhoog. De diode zou dat in het stroomkringmodel verhinderen, om te modelleren dat de echte druppelaar niet omkeerbaar is. Overigens zou in de praktijk de vonkbrug zo afgesteld moeten zijn dat een vonk alles ontlaadt voordat die omkering optreedt.

[jkien]

Een beschrijving van Kelvin zelf, uit 1867, staat hier. Hij voegt er een 'particularly simple' berekening aan toe, maar ik heb hem nog niet begrepen. Heeft iemand een idee welke grootheid D is?

KelvinCalc.png (187.07 KiB) 971 keer bekeken

[Bartjes]

Heeft iemand een idee welke grootheid D is?

Volgens mij een evenredigheidscoëfficiënt tussen de potentiaal van een ring en de elektrische stroom die er in de vorm van geladen druppeltjes doorheen valt.

[jkien]

Ja, zoiets moet het zijn.

Kelvin berekent de potentiaal links en rechts, als functie van de tijd. Met wat gepuzzel komt het eenvoudigste geval neer op het volgende. Als de opstelling geheel symmetrisch is en perfect geisoleerd, dan is het potentiaalverschil tussen links en rechts ΔV = V_o e^{t / T}, met T = C/D = 2 C_M/D, en D een constante die volgens dit bericht gelijk is aan 2πε r_a f, waarin f de druppelfrequentie is.

(C_M = ½ C, want C_M uit dit bericht is de vervangingswaarde van twee Leidse flessen met capaciteit C in serie, in de opstelling van Kelvin.)

Bijvoorbeeld T = 8 s in een situatie met f = 5 Hz, r_a = 1 mm en C_M = 1 pF, wat qua grootteorde aan de hoge kant is, gezien de video van Walter Lewin waar de tussentijd van de vonken 20 s is.

[Bartjes]

Het lijkt erop dat de opvangbakjes in Kelvin's originele toestel onderin een gaatje hebben zodat ze voortdurend leeg lopen. Als dat zo is dan moet de afgifte van lading door de ionen aan de metalen opvangbakjes inderdaad vrij snel plaats vinden omdat het apparaat anders in die vorm slecht zou werken.

[jkien]

Ja, dat was me ook opgevallen, en Kelvin zegt het ook expliciet.

Wat ook opvalt is dat de capaciteit van de vonkbrug bij Kelvin nogal groot is, namelijk twee Leidse flessen. Een Leidse fles is ongeveer 1 nF. Dat is veel meer dan de twee metalen bolletjes bij Lewin (circa 1 pF). De tijdconstante T is evenredig met C_M, dus bij Kelvin zal het opladen langer duren (een paar minuten, zegt hij).

Ik was benieuwd of er ook een soort energiebalans te maken is voor verschillende punten in het apparaat.

Je kunt je afvragen bij welke spanning het rendement 100% wordt. De arbeid die de zwaartekracht verricht bij de val van een druppel is mgh, en de gewonnen elektrostatische energie is QV, zegt Kelvin. Volgens dit bericht is Q = 2πεV r_a. De luchtwrijving verwaarloos ik even.

Het rendement is 100% als QV = mgh, dus V = r √(2ρgh / 3ε). De vereiste spanning is dus 50 V als r = 1 mm (ρ=1000 kg/m³, h=0.4 m). Bij een hogere spanning zou de druppel tot stilstand komen en uitwijken voordat hij de opvangbak bereikt. Helaas, het resultaat van deze berekening sluit niet aan bij de werkelijkheid dat de Kelvindruppelaar vonken van 10 kV genereert. Hopelijk een rekenfoutje?