[minicursus] speciale relativiteitstheorie

[mathfreak]

Als je nar de grafieken van f(x)=sinx en f(x)=x kijkt zie je dat

sinx (bijv op <0,1/2pi>) altijd groter is dan x. Dus de limiet voor x naar 0 voor sinx/x zal groter zijn dan 1.

Nee hoor, teken maar eens een eenheidscirkel waarbij je een cirkelboog met lengte x hebt als x de middelpuntshoek in radialen voorstelt, en ga nu aan de hand van de insluitstelling voor limieten na dat de door jou genoemde limiet wel degelijk de waarde 1 heeft. Hierop berust namelijk de afspraak dat voor kleine hoeken in radialen geldt dat de sinuswaarde van de hoek bij benadering gelijk is aan die hoek.

[descheleschilder]

Er geldt in het algemeen als S' met snelheid v tov S beweegt dat dat de snelheid van een deeltje dat tov S' met snelheid u' beweegt de snelheid tov van S, u=(u'+v)/(1+(u'v/c²) is. Dus als v=c en u'=c (waarom zou dat niet kunnen; denk aan twee fotonen) dan geldt wiskundug gezien u= (c+c)/(1+c²)= c(c+c)/(c+c), en (c-x)/(c-x)⇒1 als x⇒c. Daar kun je Natuurlijk tegenover stellen dat x c slechts benadert, maar aangezien de benadering oneindig dicht bij c komt ís x=c . Dus...

[Bartjes]

Kunnen twee inertiaalsystemen S en S' met de lichtsnelheid t.o.v. elkaar bewegen?

[descheleschilder]

Waarom niet?

[EvilBro]

Omdat het niet mogelijk is om aan een foton een inertiaalstelsel te knopen.

Wat is een van de eigenschappen van een inertiaalstelsel? De eigenschap dat licht (in vacuum) ofwel een foton altijd met de lichtsnelheid zal bewegen in elk inertiaalstelsel. Dus je schiet een foton af en ziet het met de lichtsnelheid van je afbewegen. Nu knoop je een inertiaalstelsel aan dat foton. Aangezien het stelsel met het foton mee beweegt zal het foton niet bewegen in dat stelsel, maar dat kan niet want dan kan het geen inertiaalstelsel zijn. Inertiaalstelsel met de lichtsnelheid bestaan dan ook niet.

Mijn advies: voordat je dit verder gaat proberen te verdedigen, bestudeer dit eerst. Anders wordt het gat waarin je jezelf aan het graven bent alleen maar groter...

[descheleschilder]

O.K. maar in het IS van dat foton staat de tijd stil en de gaan de afstanden naar 0.

[EvilBro]

Nee, een inertiaalstelsel van een foton is onzin/bestaat niet. Probeer er zelf eens achter te komen waarom door het volgende te doen. Definieer een stelsel met daarin 2 gebeurtenissen (elke gebeurtenissen heeft een plek en een tijdstip). Transformeer dit stelsel eens naar wat jij denkt dat het stelsel van een foton zou moeten zijn (geen tijd en geen afstanden). Doe dit nu nogmaals, maar nu met een ander stelsel waarin 2 andere gebeurtenissen gebeuren. Transformeer ook dit stelsel naar het fotonstelsel. Omdat je geen tijd of afstanden hebt, moeten de twee fotonstelsels er hetzelfde uitzien. Als ik je er nou een geef dan kun jij niet bepalen welke van de twee oorspronkelijke stelsels ik je heb gegeven. Dat zou echter niet mogen want je kunt altijd inertiaalstelsels in elkaar transformeren. De reden waarom dat hier niet kan is omdat je iets doet wat niet kan. Een foton-inertiaalstelsel bestaat niet.

[descheleschilder]

Het inertiaalstelsel S met de twee gebeurtenissen A en B kunnen we in rust tov van ons laten zijn. Dan kunnen we transformeren (t_A'=γ(t_A-c/c²x_A), x_A'=γ(x_A-ct_A), en evenzo voor B). IS S', waarin de gebeurtenissen C en D plaatsvinden heeft een snelheid v tov S. Dat betekent dat:

t_C'=γ(t_C-v/c2x_c)

x_C'=γ(x_c-vt_c), beiden tov S

Tov van S' geldt:

t_C'C'=1/(√(1-c²/c²)(t_C'-(1/c)x_C')=1/(√(1-c²/c²)(γ(t_c-(v/c²)x_c)-(1/c)γ(x_c-vt_c))=

(√(1-c²/c²)/(1-c²/c²))(1/(1-v²/c²)((t_c-(v/c²)x_c)-1/c(x_c-vt_c))

Aangezien de limiet van (√(1-c²/c²)/(1-c²/c²) naar 1 gaat weet ik weldegelijk welk stelsel je bedoelt.

[Flisk]

In dit geval is 0/0 wel 1.

Laat ik eens bewijzen dat dit niet het geval is bij dit voorbeeldje, bewijzen spreken immers harder dan woorden:

\(\frac{c-c}{1-c^2/c^2}=\frac{c^2-c^2}{c(1-c^2/c^2)}=\frac{(c-c)(c+c)}{c(1-c/c)}\)

\(=\frac{(c-c)(c+c)}{c/c(c-c)}=2c\)

Dit is duidelijk een andere uitkomst dan jouw c, en er is geen enkele redeneerfout in op te sporen (behalve het schrappen van 0/0 natuurlijk).

De formule loopt dan spaak omdat deze wordt toegepast op een situatie die (in de speciale relativiteitstheorie) niet kan voorkomen.

Hier sluit ik mij bij aan. Waarom een formule gebruiken in een geval waar die niet eens van toepassing is?

[EvilBro]

Kennelijk moet het nog simpeler gemaakt worden... Stel je hebt twee gebeurtenissen. De afstand tussen deze gebeurtenissen in stelsel S is

\(\Delta x\)

. De tijd tussen deze gebeurtenissen is

\(\Delta t\)

. We kunnen deze verschillen transformeren naar stelsel S' met:

\(\Delta x' = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( \Delta x - v \Delta t\right)\)

\(\Delta t' = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( \Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2}\right)\)

We bepalen nu de limiet van deze transformaties als de snelheid v naar c gaat:

\(\lim_{v \to c} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( \Delta x - v \Delta t\right) = \infty\)

\(\lim_{v \to c} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( \Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2}\right) = \infty\)

Dit geldt voor alle gebeurtenissen. Het is dus onmogelijk om terug te transformeren.

[descheleschilder]

@Flisk: er is geen fout in op te sporen behalve dat de formule c+c/(1+c²/c²) is hetgeen 2c/2=c oplevert.

[Flisk]

@Flisk: er is geen fout in op te sporen behalve dat de formule c+c/(1+c²/c²) is hetgeen 2c/2=c oplevert.

Je bent je mintekens vergeten, kijk maar een pagina terug...

Ik heb bewezen dat deze uitdrukking ook 2c oplevert...

Dus ik kan argumenteren dat de uitkomst c niet klopt, omdat het niet gelijk is aan 2c.

Zie je welk probleem we krijgen?

Dit komt omdat 0/0 een onbepaaldheid is, als je er genoeg met speelt, kan je elk getal uitkomen dat je maar wilt.

Daarom noemt het ook een onbepaaldheid. Het antwoord is niet bepaald en kan eender wat zijn, dus we spreken wiskundig af dat er geen uniek antwoord is. Met andere woorden, zo'n uitdrukking is betekenisloos. Het heeft geen unieke oplossing en is dus zinloos om op te lossen...

[descheleschilder]

@Evilbro: Wat gebeurt er met Δx-vΔt en Δt-vΔx/c² als v⇒c?

[descheleschilder]

@Flisk: de formule is u=(c+c)/(1+c²/c²)=c(c+c)/(c+c)=c.

[Flisk]

Reactie op #10:

c-c/(1-cc/c²)=c(c-c)/(c(1-c/c))=c(c-c)/(c-c)=c

@Flisk: de formule is u=(c+c)/(1+c²/c²)=c(c+c)/(c+c)=c.

Je hebt gelijk, die laatste klopt. Waarom gebruikte je dan eerst die met de mintekens?

Diegene met de plustekens is inderdaad gelijk aan c. Maar die bovenste bewering is 0/0 en was fout, wat ik ook aantoonde in mijn post.

Als ik het goed begrijp gaat het over relativistische snelheid en daarvoor moet de formule met plustekens gebruikt worden. Vanwaar komt die uit post 94?

En waarom zou je trouwens in de snelheidsformule c gebruiken?

Hetgeen wat je dan zegt komt neer op het volgende:

Neem de grond als referentie.

Een foton die aan de lichtsnelheid beweegt in het referentiestelsel van een andere foton die aan de lichtsnelheid beweegt t.o.v. de grond, beweegt aan de lichtsnelheid t.o.v. de grond.

Deze uitspraak klopt totaal niet. Een foton heeft volgens de theorie helemaal geen referentiestelsel.